Пример 17.
Мнимое изображение предмета в тонкой собирающей линзе с фокусным расстоянием F = 8 см получено с увеличением Г = 4. На каком расстоянии от линзы находится предмет? Предмет расположен перпендикулярно главной оптической оси линзы. Постройте изображение предмета в линзе.

Источник:
1. Демидова М.Ю., Грибов В.А. Методические рекомендации для учителей, подготовленные на основе анализа типичных ошибок участников ЕГЭ 2025 года по физике. Москва, 2025.

Решение. КПД теплового циклического процесса и количества теплоты связаны соотношением
\[\eta =\frac{Q_{\text{н}}-\left| Q_{\text{х}} \right|}{Q_{\text{н}}}=1-\frac{\left| Q_{\text{х}} \right|}{Q_{\text{н}}}.\ \ \ (1)\]
Цикл состоит из 3 процессов, где процесс 31 — адиабата и Q₃₁ = 0. Количество теплоты Q будем находить, используя первый закон термодинамики
\[Q=\Delta U+A,\ \ \ (2)\]
где внутренняя энергия идеального одноатомного газа через температуру T газа равна
\[U=\frac{3}{2}\cdot \nu \cdot R\cdot T.\ \ \ (3)\]
Процесс 1-2 — изобарный (p₁ = p₂). Тогда из уравнений (2) и (3) получаем
\[Q_{12}=\Delta U_{12}+A_{12},\ \ \Delta U_{12}=\frac{3}{2}\cdot \nu \cdot R\cdot \left( T_2-T_1 \right).\]
При изобарном процессе работа газа равна
\[A_{12}=p_1\cdot \Delta V_{12}.\]
Из уравнения Менделеева-Клапейрона
\[p\cdot V=\nu \cdot R\cdot T\]
при изобарном процессе (p = const, m = const) получаем, что объем V газа изменяется из-за изменения температуры T:
\[p_1\cdot \Delta V_{12}=\nu \cdot R\cdot \left( T_2-T_1 \right).\]
Тогда работа газа и количество теплоты будут равны
\[A_{12}=\nu \cdot R\cdot \left( T_2-T_1 \right),\]
\[Q_{12}=\frac{3}{2}\cdot \nu \cdot R\cdot \left( T_2-T_1 \right)+\nu \cdot R\cdot \left( T_2-T_1 \right)=\frac{5}{2}\cdot \nu \cdot R\cdot \left( T_2-T_1 \right)>0,\]
так как T₂ > T₁.

Процесс 2-3 — изохорный (V₂ = V₃). Тогда работа газа A₂₃ = 0 и из уравнений (2) и (3) получаем
\[Q_{23}=\Delta U_{23}=\frac{3}{2}\cdot \nu \cdot R\cdot \left( T_3-T_2 \right)<0,\]
так как T₃ < T₂.

Так как Q₁₂ > 0, то
\[Q_{\text{н}}=Q_{12}=\frac{5}{2}\cdot \nu \cdot R\cdot \left( T_2-T_1 \right);\]
так как Q₂₃ < 0, то
\[\left| Q_{\text{х}} \right|=\left| Q_{23} \right|=\frac{3}{2}\cdot \nu \cdot R\cdot \left( T_2-T_3 \right).\]
После подстановки в уравнение (1) получаем
\[\eta =1-\frac{\frac{3}{2}\cdot \nu \cdot R\cdot \left( T_2-T_3 \right)}{\frac{5}{2}\cdot \nu \cdot R\cdot \left( T_2-T_1 \right)}=1-\frac{3\cdot \left( T_2-T_3 \right)}{5\cdot \left( T_2-T_1 \right)},\]
\[\eta =1-\frac{3\cdot \left( 800-252 \right)}{5\cdot \left( 800-400 \right)}=0,178=17,8\ %.\]
Ответ: 17,8 %.

Пример 24.
Один моль одноатомного идеального газа совершает цикл 1-2-3-1, состоящий из изобары (1-2), изохоры (2-3) и адиабаты (3-1) (см. рисунок). Абсолютная температура газа в состояниях 1, 2 и 3 равна 400 К, 800 К и 252 К соответственно. Определите коэффициент полезного действия теплового двигателя, работающего по этому циклу.


Источник:
1. Демидова М.Ю., Грибов В.А. Методические рекомендации для учителей, подготовленные на основе анализа типичных ошибок участников ЕГЭ 2025 года по физике. Москва, 2025.

Решение. Так как сосуд закрыт с прочными стенками, то считаем, что объем V газа (сосуда) не изменяется и процесс изохорный. Работа A газа при таком процессе равна нулю.
Запишем первый закон термодинамики при изохорном процессе
\[Q=\Delta U.\]
Внутренняя энергия идеального одноатомного газа через массу m газа и его температуру T равна
\[U=\frac{3m}{2M}\cdot R\cdot T.\]
Тогда изменение внутренней энергии газа при постоянной массе будет равно
\[\Delta U=\frac{3m}{2M}\cdot R\cdot \left( T_2-T_1 \right).\]
Найдем температуру T₂ газа из уравнения изохорного процесса
\[\frac{p_1}{T_1}=\frac{p_2}{T_2},\ \ T_2=\frac{p_2}{p_1}\cdot T_1,\]
\[T_2=\frac{2\cdot 10^5}{4\cdot 10^5}\cdot 400=200\ \text{K}.\]
В итоге получаем
\[Q=\Delta U=\frac{3\cdot 0,012}{2\cdot 0,004}\cdot 8,31\cdot \left( 200-400 \right)=-7479\ \text{Дж}.\]
Газ в ходе опыта отдал количество теплоты, равное 7479 Дж.
Ответ: 7479 Дж.

Пример 23.
В закрытом сосуде находится одноатомный идеальный газ, масса которого 12 г, а молярная масса 0,004 кг/моль. В начале опыта давление в сосуде равно 4·10⁵ Па при температуре 400 К. После охлаждения газа давление понизилось до 2·10⁵ Па. Какое количество теплоты отдал газ в ходе опыта? Стенки сосуда считать прочными и теплопроводимыми.

Источник:
1. Демидова М.Ю., Грибов В.А. Методические рекомендации для учителей, подготовленные на основе анализа типичных ошибок участников ЕГЭ 2025 года по физике. Москва, 2025.

Решение. Будем рассматривать систему тел «снаряд и его осколки». Их импульсы изменяет взрыв. До взрыва двигался только снаряд. После взрыва осколки снаряда будут двигаться отдельно друг от друга. Направление скорости второго осколка нам неизвестно.
Сделаем схематический чертеж. (см. рисунок 1).


Выберем систему отсчета, связанную с Землей, которая является инерциальной (ИСО). Все тела будем считать материальными точками, так как они движутся поступательно. Начальный и конечный импульсы системы тел «осколки снаряда» равны соответственно
\[\vec{p}_0=m\cdot \vec{\upsilon }_0,\]
\[\vec{p}=m_1\cdot \vec{\upsilon }_1+m_2\cdot \vec{\upsilon }_2.\]
Задачу будем решать в инерциальной системе отсчета, связанной с поверхностью Земли. Так как при взрыве сила тяжести осколков во много раз меньше силы взрыва, то силой тяжести тел можно пренебречь и для системы тел «снаряд и его осколки» нет внешних сил. Тогда для данной системы материальных точек в ИСО можем записать закон сохранения импульса в векторном виде:
\[\vec{p}_0=\vec{p},\]
\[m\cdot \vec{\upsilon }_0=m_1\cdot \vec{\upsilon }_1+m_2\cdot \vec{\upsilon }_2,\ \ \ (1)\]
где m₂ = m – m₁, m₂ = 2 – 1 = 1 кг.
Из уравнения (1) получаем
\[m_2\cdot \vec{\upsilon }_2=m\cdot \vec{\upsilon }_0+\left( -m_1 \cdot \vec{\upsilon }_1 \right).\]
Построим треугольник импульсов по данному уравнению (см. рисунок 2).


Данный треугольник прямоугольный, в котором импульс m₂·υ₂ является гипотенузой, а импульсы m·υ₀ и m₁·υ₁ — катеты. Тогда угол α можно определить следующим образом:
\[\cos \alpha =\frac{m\cdot \upsilon _0}{m_2\cdot \upsilon _2},\ \ \alpha =\arccos \left( \frac{m\cdot \upsilon _0}{m_2\cdot \upsilon _2} \right)=\arccos \left( \frac{2\cdot 100}{1\cdot 400} \right)=60{}^\circ .\]
Ответ: 60°.

Информация ФИПИ. Задания такого типа решаются исходя из геометрических соображений, но нельзя забывать о том, что сначала должен быть записан закон сохранения импульса в векторном виде, который в данном случае играет роль исходного уравнения. При его отсутствии даже при верном ответе нельзя получить за решение задачи даже минимальный балл.
Поэтому решение должно содержать:
1) закон сохранения импульса:
\[\vec{p}=\vec{p}_1+\vec{p}_2;\]
2) рисунок, приведенный справа: векторы импульсов снаряда до взрыва и осколков после взрыва образуют прямоугольный треугольник;


3) указание, что из геометрических соображений
\[p=p_2\cdot \cos \alpha ;\]
следовательно,
\[M\cdot \upsilon =m_2\cdot \upsilon _2\cdot \cos \alpha ;\]
4) преобразования и ответ.

Утвердить следующее расписание проведения единого государственного экзамена (далее — ЕГЭ) в 2026 году:
1 июня (понедельник) — история, литература, химия;
4 июня (четверг) — русский язык;
8 июня (понедельник) — ЕГЭ по математике базового уровня, ЕГЭ по математике профильного уровня;
11 июня (четверг) — обществознание, физика;
15 июня (понедельник) биология, география, иностранные языки (английский, испанский, китайский, немецкий, французский) (письменная часть);
18 июня (четверг) — иностранные языки (английский, испанский, китайский, немецкий, французский) (устная часть), информатика;
19 июня (пятница) — иностранные языки (английский, испанский, китайский, немецкий, французский) (устная часть), информатика.

2. Установить, что:
2.1. ЕГЭ по всем учебным предметам начинается в 10.00 по местному времени.
2.2. Продолжительность ЕГЭ по биологии, информатике, литературе, математике профильного уровня, физике составляет 3 часа 55 минут (235 минут);
...
2.3. Участники экзаменов используют средства обучения и воспитания для выполнения заданий контрольных измерительных материалов (далее — КИМ) в аудиториях пункта проведения экзаменов.
Допускается использование участниками экзаменов следующих средств обучения и воспитания по соответствующим учебным предметам:
...
по физике — линейка для построения графиков и схем; непрограммируемый калькулятор;
...
В день проведения ЕГЭ на средствах обучения и воспитания не допускается делать пометки, относящиеся к содержанию заданий КИМ по учебным предметам.

Пример 28.
Снаряд массой 2 кг, летящий со скоростью 100 м/с, разрывается на два осколка. Один из осколков летит под углом 90° к первоначальному направлению. Под каким углом к этому направлению полетит второй осколок, если его масса 1 кг, а скорость 400 м/с?

Источник:
1. Демидова М.Ю., Грибов В.А. Методические рекомендации для учителей, подготовленные на основе анализа типичных ошибок участников ЕГЭ 2025 года по физике. Москва, 2025.

Решение. Импульсы систему тел изменяются из-за их столкновения. До удара двигались тела отдельно друг от друга. После абсолютно неупругого удара тела двигались вместе.
Сделаем схематический чертеж. Пусть скорость υ₁ первого шарика до столкновения будет направлена вправо, а скорость υ₂ второго шарика — вниз (вид сверху). Направление скорости υ шариков после столкновения неизвестно. Оси 0X и 0Y направим так, как показано на рисунке 1.


Все тела будем считать материальными точками, так как они движутся поступательно.
Так как по условию шарики одинаковые, то их массы равны m₁ = m₂ = m.
До взаимодействия в системе двигались два тела раздельно, поэтому начальный импульс системы тел равен
\[\vec{p}_0=m\cdot \vec{\upsilon }_1+m\cdot \vec{\upsilon }_2.\ \ \ (1)\]
После взаимодействия в системе два тела двигались вместе. Тогда можем считать их как одно тело с массой 2m и скоростью υ, а конечный импульс системы тел равен
\[\vec{p}=2m\cdot \vec{\upsilon }.\ \ \ (2)\]
Задачу будем решать в инерциальной системе отсчета, связанной с поверхностью Земли. Для системы тел «два шарика» равнодействующие внешних сил равны нулю (силы тяжести m·g скомпенсированы силами реакции опоры N). Тогда для данной системы материальных точек в ИСО можем записать закон сохранения импульса в векторном виде:
\[\vec{p}_0=\vec{p}.\]
С учетом уравнений (1) и (2) получаем
\[m\cdot \vec{\upsilon }_1+m \cdot \vec{\upsilon }_2=2m\cdot \vec{\upsilon }.\ \ \ (3)\]
По условию υ₁ = 2υ₂, υ₁ = 2 м/с (более быстрый шарик). Тогда
\[\upsilon _2=\frac{\upsilon _1}{2}=\frac{2}{2}=1\ \text{м/с}.\]
1 способ (через проекции). Так как тела движутся не вдоль одной прямой, то необходимо выбрать двухмерную систему координат, и тогда скорость шариков после столкновения будет равна
\[\upsilon =\sqrt{\upsilon _x^2+\upsilon _y^2}.\ \ \ (4)\]
Запишем уравнение (3) в проекциях на оси координат (см. рисунок):
\[0X:\ m\cdot \upsilon _1=2m\cdot \upsilon _x,\ \ \upsilon _x=\frac{\upsilon _1}{2},\]
\[0Y:\ m\cdot \upsilon _2=2m\cdot \upsilon _y,\ \ \upsilon _y=\frac{\upsilon _2}{2}.\]
Подставим полученные уравнения в уравнение (4) и учтем, что υ₁ = 2 м/с, υ₂ = 1 м/с:
\[\upsilon =\sqrt{\frac{\upsilon _1^2}{4}+\frac{\upsilon _2^2}{4}}=\sqrt{\frac{\upsilon _1^2+\upsilon _2^2}{4}},\ \ \upsilon =\sqrt{\frac{2^2+1^2}{4}}\approx 1,12\ \text{м/с}.\]
2 способ (векторный). Построим треугольник импульсов по уравнению (3) (см. рисунок 2).


Данный треугольник прямоугольный, в котором импульс 2m·υ является гипотенузой, а импульсы m·υ₁ и m·υ₂ — катеты. Тогда по теореме Пифагора получаем
\[2m\cdot \upsilon =\sqrt{{\left( m\cdot \upsilon _1 \right)}^2+{\left( m\cdot \upsilon _2 \right)}^2},\ \ \upsilon =\frac{\sqrt{\upsilon _1^2+\upsilon _2^2}}{2},\]
\[\upsilon =\frac{\sqrt{2^2+1^2}}{2}\approx 1,12\ \text{м/с}.\]
Ответ: 1,12 м/с.