22.5 (25.5). Груз поднимают с помощью рычага (см. рисунок). Рычаг состоит из шарнира без трения и однородного стержня массой m = 20 кг и длиной L = 4 м. Расстояние от оси шарнира до точки подвеса груза b = 1 м. Какую вертикальную силу надо приложить к концу рычага, чтобы медленно поднимать груз массой M = 80 кг?


Ответ: ____ Н.

Источники:
1. ЕГЭ. Физика. Отличный результат / под ред. М. Ю. Демидовой. — Москва: Издательство «Национальное образование», 2022. — 736 с. — (ЕГЭ. ФИПИ — школе).
2. ЕГЭ. Физика. Отличный результат / под ред. М. Ю. Демидовой. — Москва: Издательство «Национальное образование», 2024. — 496 с. — (ЕГЭ. Отличный результат. Учебная книга).

Решение. На рычаг действуют сила F, сила натяжения нити T и сила реакции опоры N (см. рисунок). По условию силой тяжести рычага пренебрегаем.


На груз действуют сила тяжести m·g и сила натяжения нити T₁.
Задачу будем решать в системе отсчета, связанной с поверхностью Земли, которую считаем инерциальной. Рычаг и груз будем считать твердыми телами, так как не изменяются их форма, размеры и расстояние между любыми двумя их точками.
Так как груз неподвижен, то запишем условие равновесия твердого тела в ИСО относительно поступательного движения:
\[m \cdot \vec{g} + \vec{T}_1 = 0.\]
Из проекции уравнения на вертикальную ось получаем
\[T_1 = m \cdot g.\]
Будем считать нить невесомой, а блок идеальным. Тогда
\[T = T_1 = m \cdot g.\]
Пусть длина одного деления на рычаге равна x.
Рычаг вращается относительно точки O.
Плечо силы N относительно точки О равно l_O = 0, поэтому момент этой силы равен
\[M_O = 0.\]
Плечо силы натяжения нити T = m·g равно ОA = 4x. Данная сила стремится вращать рычаг относительно точки О по часовой стрелке, поэтому момент этой силы равен
\[M_A = -m \cdot g \cdot 4x.\]
Плечо силы F равно ОB = 2x. Данная сила стремится вращать рычаг относительно точки О против часовой стрелки, поэтому
\[M_B = F \cdot 2x.\]
Рычаг неподвижен относительно оси вращения в точке O. Запишем условие равновесия твердого тела в ИСО относительно вращательного движения:
\[M_A + M_B + M_O = 0\ \ \text{или}\]
\[-m \cdot g \cdot 4x + F \cdot 2x + 0 = 0.\]
Тогда
\[4m \cdot g = 2F,\ \ m = \frac{F}{2g},\ \ m = \frac{15}{2 \cdot 10} = 0,75\ \text{кг}.\]
Ответ: 0,75 кг.

Примечание: В условие задачи желательно добавить, что нить невесомая, а блок идеальный.

22.3 (25.3). На рисунке изображена система, состоящая из рычага и блока. Чтобы система находилась в равновесии, к рычагу необходимо приложить вертикальную силу величиной F = 15 Н. Определите массу груза. Массой рычага пренебречь.


Ответ: _____ кг.

Источники:
1. ЕГЭ. Физика. Отличный результат / под ред. М. Ю. Демидовой. — Москва: Издательство «Национальное образование», 2022. — 736 с. — (ЕГЭ. ФИПИ — школе).
2. ЕГЭ. Физика. Отличный результат / под ред. М. Ю. Демидовой. — Москва: Издательство «Национальное образование», 2024. — 496 с. — (ЕГЭ. Отличный результат. Учебная книга).

Решение. Две сцепленные шестерни на поверхности будут иметь равные линейные скорости υ₁ и υ₂:
\[\upsilon _1 = \upsilon _2.\ \ \ (1)\]
По условию задана частота вращения большой шестерни ν₁ = 2 с^-1. Так же можно найти частоту ν₂ вращения маленькой шестерни:
\[\nu _2 = \frac{N_2}{t_2},\]
где N₂ = 50, t₂ = 10 с. Тогда
\[\nu _2 = \frac{50}{10} = 5\ \text{c}^{-1}.\]
Зная частоту вращения ν, найдем угловую скорость ω вращения
\[\omega = 2\pi \cdot \nu .\]
Тогда линейная υ скорость будет равна
\[\upsilon = \omega \cdot R = 2\pi \cdot \nu \cdot R.\]
Запишем полученное уравнение для двух шестерён:
\[\upsilon _1 = 2\pi \cdot \nu _1 \cdot R_1,\ \ \upsilon _2 = 2\pi \cdot \nu _2 \cdot R_2.\]
С учетом равенства (1) получаем
\[2\pi \cdot \nu _1 \cdot R_1 = 2\pi \cdot \nu _2 \cdot R_2,\ \ R_1 = \frac{\nu _2 \cdot R_2}{\nu _1},\]
\[R_1 = \frac{5 \cdot 10}{2} = 25\ \text{см}.\]
Ответ: 25 см.

К2.8. Две шестерни, сцепленные друг с другом, вращаются вокруг неподвижных осей. Маленькая шестерня радиусом 10 см делает 50 оборотов за 10 с, а частота обращения большой шестерни равна 2 с^-1. Каков радиус большой шестерни?
Ответ: ____ см.

Источники:
1. ЕГЭ. Физика. Отличный результат / под ред. М. Ю. Демидовой. — Москва: Издательство «Национальное образование», 2022. — 736 с. — (ЕГЭ. ФИПИ — школе).
2. ЕГЭ. Физика. Отличный результат / под ред. М. Ю. Демидовой. — Москва: Издательство «Национальное образование», 2024. — 496 с. — (ЕГЭ. Отличный результат. Учебная книга).

Решение. Запишем краткое условие, скрытых данных нет:
t = 2 с, υ = υ₀/3, a = 5 м/с², s — ?
При равноускоренном движении можем использовать следующие уравнения:
\[\Delta r_x = \upsilon _{0x} \cdot t + \frac{a_x \cdot t^2}{2},\ \ \upsilon _x = \upsilon _{0x} + a_x \cdot t.\]
При движении по прямой в одном направлении перемещение поезда равно пройденному пути, т.е. Δr = s. Скорость тела υ уменьшается, поэтому ускорение a направлено против начальной скорости υ₀. Ось 0Х направим по скорости υ₀. Тогда Δr_x = s, υ_x= υ, υ_0x= υ₀, а_х = –а. Получим систему уравнений
\[s = \upsilon _0 \cdot t-\frac{a \cdot t^2}{2},\ \ \upsilon = \frac{\upsilon _0}{2} = \upsilon _0-a \cdot t.\]
Решим данную систему. Например,
\[a \cdot t = \upsilon _0-\frac{\upsilon _0}{3} = \frac{2\upsilon _0}{3},\ \ \upsilon _0 = \frac{3a \cdot t}{2},\]
\[s = \frac{3a \cdot t^2}{2}-\frac{a \cdot t^2}{2} = a \cdot t^2,\ \ s = 5 \cdot 2^2 = 20\ \text{м}.\]
Ответ: 20 м.

К2.3. Какой путь пройдёт тело за 2 с, двигаясь по прямой в одном направлении, если его скорость за это время уменьшается в 3 раза? Модуль ускорения тела равен 5 м/с².
Ответ: _____ м.

Источники:
1. ЕГЭ. Физика. Отличный результат / под ред. М. Ю. Демидовой. — Москва: Издательство «Национальное образование», 2022. — 736 с. — (ЕГЭ. ФИПИ — школе).
2. ЕГЭ. Физика. Отличный результат / под ред. М. Ю. Демидовой. — Москва: Издательство «Национальное образование», 2024. — 496 с. — (ЕГЭ. Отличный результат. Учебная книга).

Решение. Запишем краткое условие, скрытых данных нет:
υ₀ = 5 м/с s = 20 м, υ = 3υ₀, t — ?
Из условия задачи определяем, что не используется ускорение а тела, поэтому для равноускоренного движения по прямой в одном направлении применяем уравнение
\[s = \frac{\upsilon + \upsilon _0}{2} \cdot t.\]
Так как по условию υ = 3υ₀, то
\[s = \frac{3\upsilon _0 + \upsilon _0}{2} \cdot t = 2\upsilon _0 \cdot t,\ \ t = \frac{s}{2\upsilon _0},\]
\[t = \frac{20}{2 \cdot 5} = 2\ \text{c}.\]
Ответ: 2 с.

К2.2. Начальная скорость движения тела равна 5 м/с. Сколько потребуется времени, чтобы увеличить его скорость в 3 раза при равноускоренном движении по прямой в одном направлении на пути в 20 м?
Ответ: ____ с.

Источники:
1. ЕГЭ. Физика. Отличный результат / под ред. М. Ю. Демидовой. — Москва: Издательство «Национальное образование», 2022. — 736 с. — (ЕГЭ. ФИПИ — школе).
2. ЕГЭ. Физика. Отличный результат / под ред. М. Ю. Демидовой. — Москва: Издательство «Национальное образование», 2024. — 496 с. — (ЕГЭ. Отличный результат. Учебная книга).

Решение. Составим уравнения движения для мотоциклиста и трактора. За начало отсчета примем точку A. Ось 0Х направим по направлению движения. За начало отсчета времени примем момент времени, когда тела выезжают из пунктов А и В. Этот момент и изобразим на рисунке.


Уравнение движения в общем виде
\[x = x_0 + \upsilon _{0x} \cdot t + \frac{a_x \cdot t^2}{2}.\]
где а_х = 0 (скорости тел не меняются). Тогда
\[x = x_0 + \upsilon _{0x} \cdot t.\ \ \ (1)\]
Запишем уравнение (1) для двух тел:
\[x_1 = x_{01} + \upsilon _{1x} \cdot t,\ \ x_2 = x_{02} + \upsilon _{2x} \cdot t.\]
где для мотоциклиста х₀₁ = 0 м, υ_1x = υ₁ = 50 км/ч; для трактора — х₀₂ = 30 км, υ_2x = υ₂ = 20 км/ч. Тогда
\[x_1 = 50t\ (\text{км}),\ \ x_2 = 30 + 20t\ (\text{км}).\]
Если в момент времени t₁ мотоциклист догонит трактор, то координаты тел станут равны, т.е.
\[x_1\left( t_1 \right) = x_2\left( t_1 \right),\ \ 50t_1 = 30 + 20t_1.\]
Решим полученное уравнение, найдем время t₁ и подставим в любое уравнение x(t₁):
\[30t_1 = 30,\ \ t_1 = 1\ \text{ч},\ \ x_1\left( t_1 \right) = 50 \cdot 1 = 50\ \text{км}.\]
Расстоянии l от пункта A (x_А = 0 км) до места встречи (x₁ = 50 км) равно
\[l = \left| x_1-x_A \right| = \left| 50-0 \right| = 50\ \text{км}.\]
Ответ: 50 км.