ЕГЭ 2024. Физика. Отличный результат. Магнитное поле 15.6

[Александр Сакович]

15.6 (18.6). Протон в однородном магнитном поле движется по окружности. Как изменятся радиус окружности и частота обращения α-частицы по сравнению с протоном, если в этом же поле будет двигаться по окружности с той же скоростью α-частица?
Для каждой величины определите соответствующий характер изменения:
1) увеличится, 2) уменьшится, 3) не изменится.
Запишите в таблицу выбранные цифры для каждой физической величины. Цифры в ответе могут повторяться.

Источники:
1. ЕГЭ. Физика. Отличный результат / под ред. М. Ю. Демидовой. — Москва: Издательство «Национальное образование», 2022. — 736 с. — (ЕГЭ. ФИПИ — школе).
2. ЕГЭ. Физика. Отличный результат / под ред. М. Ю. Демидовой. — Москва: Издательство «Национальное образование», 2024. — 496 с. — (ЕГЭ. Отличный результат. Учебная книга).

[Александр Сакович]

Анализ условия. 1) По условию протон заменяют на α-частицу.
Параметры протона ₁¹p: масса m₂ = 1 а.е.м. (A = 1), заряд q₂ = e (Z = 1).
α-частица — это ядро гелия ₂⁴He, масса которого m₁ = 4 а.е.м. (A = 4), заряд q₁ = 2e (Z = 2).
Получаем, что масса m частицы увеличится в 4 раза, а её заряд q увеличится в 2 раза.
2) По условию индукция B магнитного поля («в этом же поле») и скорость υ частиц не изменятся.
3) Протон и α-частица — это элементарные частицы, силой тяжести и размерами которых можно пренебречь. Считаем их материальными точками.
Определим, как изменятся радиус R окружности и частота ν обращения частицы при изменении массы m частицы и её заряда q.

Теория. Получим формулы для расчета радиуса R окружности, по которой движется частица в магнитном поле, и для частоты ν её обращения.
1) Так как силой тяжести частиц пренебрегаем, то на них действует только магнитное поле с силой F, равной
\[F=\left| q \right|\cdot B\cdot \upsilon \cdot \sin \alpha ,\]
где α = 90°, так как частица движется по окружности, sin 90º = 1. Тогда
\[F=\left| q \right|\cdot B\cdot \upsilon .\ \ \ (1)\]
При движении по окружности сила Лоренца F направлена по радиусу к центру окружности. Точно так же направлено и центростремительное ускорение a.
Задачу будем решать в инерциальной системе отсчета, связанной с поверхностью Земли. Так как частицы считаем материальными точками, то для них можем записать второй закон Ньютона:
\[m\cdot a=F,\]
где \( a=\frac{\upsilon ^2}{R}. \) С учетом уравнения (1) получаем
\[\frac{m\cdot \upsilon ^2}{R}=\left| q \right|\cdot \upsilon \cdot B,\]
\[B=\frac{m\cdot \upsilon }{R\cdot \left| q \right|}.\ \ \ (2)\]
2) Частоту ν обращения частиц по окружности найдем из формул для линейной и угловой скоростей
\[\upsilon =\omega \cdot R=2\pi \cdot \nu \cdot R,\]
\[\nu =\frac{\upsilon }{2\pi \cdot R}.\ \ \ (3)\]

[Александр Сакович]

Решение. 1) Определим, как изменится радиус R окружности при изменении массы m частицы и её заряда q.
По условию индукция B магнитного поля и скорость υ частиц не изменятся (см. анализ условия пункт 1). Так как масса m частицы увеличится в 4 раза, а её заряд q увеличится в 2 раза (см. анализ условия пункт 1), то из уравнения (2) следует, что радиус окружности R увеличится в 2 раза.
Это соответствует изменению № 1.

2) Определим, как изменится частота ν обращения частицы при изменении массы m частицы и её заряда q.
По условию скорость υ частиц не изменится. Так как радиус окружности R увеличится в 2 раза (см. решение пункт 1), то из уравнения (3) следует, что частота ν обращения уменьшится в 2 раза.
Это соответствует изменению № 2.
Ответ: 12.