Решение. Проверим каждое утверждение.
1) Потенциальная энергия пружины в момент времени 1,0 с максимальна.
Потенциальная энергия пружины зависит от удлинения Δl = x пружины (см. теорию пункт 4, уравнение (1)). И эта энергия будет максимальной при максимальном удлинении x.
Из таблицы условия определяем, что в момент времени t₁ = 1,0 с удлинение x₁ = 15 мм — это максимальное удлинение.
Утверждение № 1 верное.

2) Период колебаний шарика равен 4 с.
Период колебаний шарика T = 4 с (см. анализ условия пункт 4).
Утверждение № 2 верное.

3) Кинетическая энергия шарика в момент времени 2,0 с минимальна.
Кинетическая энергия W_кин шарика зависит от его скорости υ (см. теорию пункт 5, уравнение (2)). И эта энергия будет минимальной при минимальном значении модуля скорости, т.е. при υ = 0.
Модуль скорости шарика принимает максимальные значения в положении равновесия и равна нулю в амплитудных положениях.
Из таблицы условия определяем, что в момент времени t₂ = 2,0 с удлинение x₂ = 0 мм — это положение равновесия, где модуль скорости максимальна.
Утверждение № 3 неверное.

4) Амплитуда колебаний шарика равна 30 мм.
Амплитуда колебания шарика равна x_max = 15 мм (см. анализ условия пункт 1).
Утверждение № 4 неверное.

5) Полная механическая энергия маятника, состоящего из шарика и пружины, в момент времени 3,0 с минимальна.
При гармонических незатухающих колебаниях выполняется закон сохранения механической энергии маятника, и его полная энергия не изменяется.
Утверждение № 5 неверное.
Ответ: 12.

Анализ условия. 1) Из таблицы условия определяем, что амплитуда колебания шарика x_max = 15 мм, а координата точки равновесия x₀ = 0 мм.
2) Так как амплитуда колебаний не изменяется, то шарик совершает гармонические незатухающие колебания.
3) Из таблицы условия определяем, что шарик начинает колебания из положения равновесия (при t₀ = 0 с координата x₀ = 0 мм).
4) Из таблицы условия определяем, что за время, указанное в таблице, шарик не успевает совершить полное колебание. Но за время t₂ = 2,0 с он совершает половину колебания (из положения равновесия x₀ = 0 мм в положение равновесия x₂ = 0 мм). Тогда полное колебание шарик совершает за время равное


Это время называют периодом T колебаний шарика.

Теория. 1) При гармонических незатухающих колебаниях модуль скорости шарика принимает максимальные значения в положении равновесия (x = 0 мм) и равна нулю в амплитудных положениях (x = ±15 мм).
2) При гармонических незатухающих колебаниях модуль ускорения шарика принимает максимальные значения в амплитудных положениях (x = ±15 мм) и равна нулю в положении равновесия (x = 0 мм).
3) При гармонических незатухающих колебаниях шарика выполняется закон сохранения механической энергии. При этом потенциальная энергия шарика переходит в кинетическую и наоборот.
4) Потенциальная энергия пружины зависит от удлинения Δl = x пружины и равна
\[W_{\text{пот}}=\frac{k \cdot x^2}{2}.\ \ \ (1)\]
5) Кинетическая энергия шарика зависит от его скорости υ и равна
\[W_{\text{кин}}=\frac{m \cdot \upsilon ^2}{2}.\ \ \ (2)\]

5.3 (6.5). В таблице представлены данные о положении шарика, прикреплённого к пружине и колеблющегося вдоль горизонтальной оси 0x, в различные моменты времени.


Из приведённого ниже списка выберите все правильные утверждения относительно движения шарика.
1) Потенциальная энергия пружины в момент времени 1,0 с максимальна.
2) Период колебаний шарика равен 4 с.
3) Кинетическая энергия шарика в момент времени 2,0 с минимальна.
4) Амплитуда колебаний шарика равна 30 мм.
5) Полная механическая энергия маятника, состоящего из шарика и пружины, в момент времени 3,0 с минимальна.
Ответ: ____.

Источники:
1. ЕГЭ. Физика. Отличный результат / под ред. М. Ю. Демидовой. — Москва: Издательство «Национальное образование», 2022. — 736 с. — (ЕГЭ. ФИПИ — школе).
2. ЕГЭ. Физика. Отличный результат / под ред. М. Ю. Демидовой. — Москва: Издательство «Национальное образование», 2024. — 496 с. — (ЕГЭ. Отличный результат. Учебная книга).

Решение. Проверим каждое утверждение.
1) При движении из положения 2 в положение 3 модуль проекции ускорения груза маятника на ось x уменьшается.
Модуль ускорения принимает максимальное значение в положении 3 и равна нулю в положении 2 (см. теорию пункт 2). Следовательно, при движении из положения 2 в положение 3 модуль ускорения маятника будет увеличиваться.
Утверждение № 1 неверное.

2) Потенциальная энергия маятника во второй раз достигнет своего максимума через 4 с после начала движения.
Потенциальная энергия W_пот маятника зависит от высоты h грузика (см. теорию пункт 4, уравнение (1)). Максимальной высоты грузит достигнет вначале в положении 3, а затем в положении 1.
Из анализа условия (см. пункт 4) следует, что маятник окажется в положении 1 через время t₁ = T = 2 с.
Утверждение № 2 неверное.

3) Через 2 с маятник первый раз вернётся в положение 1.
Маятник первый раз вернётся в положение 1 когда тело совершит полное колебание. Это время равно периоду, т.е. t₁ = T = 2 с (см. анализ условия, пункт 3).
Утверждение № 3 верное.

4) Кинетическая энергия маятника в первый раз достигнет своего максимума через 0,5 с после начала движения.
Кинетическая энергия W_кин маятника зависит от скорости υ грузика (см. теорию пункт 5, уравнение (2)). Модуль скорости маятника в первый раз принимает максимальное значение в положении 2.
Из анализа условия (см. пункт 4) следует, что маятник окажется в положении 2 через время t₂ = T/4 = 0,5 с.
Утверждение № 4 верное.

5) При движении из положения 2 в положение 3 полная механическая энергия маятника увеличивается.
При гармонических незатухающих колебаниях выполняется закон сохранения механической энергии маятника, и его полная энергия не изменяется.
Утверждение № 5 неверное.
Ответ: 34.

Анализ условия. 1) По условию сопротивлением воздуха пренебречь, поэтому маятник будет совершать гармонические незатухающие колебания.
2) По условию маятник начинает колебания из амплитудного положения (из положения 1 на рисунке). 2) Скорость маятника в этом положении равна υ₁ = 0.
3) По условию частота колебаний ν = 0,5 Гц, тогда период колебаний будет равен
\[T=\frac{1}{\nu },\ \ T=\frac{1}{0,5}=2\ \text{c}.\]
4) Полное колебание маятник совершает за время, равное периоду t₁ = T = 2 с. При этом он проходит следующие положения: 1-2-3-2-1. Первый раз маятник окажется:


Теория. 1) При гармонических незатухающих колебаниях модуль скорости маятника принимает максимальные значения в положении равновесия (положение 2 на рисунке) и равна нулю в амплитудных положениях (положения 1 и 3 на рисунке).
2) При гармонических незатухающих колебаниях модуль ускорения маятника принимает максимальные значения в амплитудных положениях (положения 1 и 3 на рисунке) и равна нулю в положении равновесия (положение 2 на рисунке).
3) При гармонических незатухающих колебаниях выполняется закон сохранения механической энергии. При этом потенциальная энергия маятника переходит в кинетическую и наоборот.
4) Потенциальная энергия маятника зависит от высоты h грузика и равна
\[W_{\text{пот}}=m \cdot g \cdot h.\ \ \ (1)\]
5) Кинетическая энергия маятника зависит от скорости υ грузика и равна
\[W_{\text{кин}}=\frac{m \cdot \upsilon ^2}{2}.\ \ \ (2)\]

5.2 (6.4). Математический маятник с частотой колебаний 0,5 Гц отклонили на небольшой угол от положения равновесия в положение 1 и отпустили с начальной скоростью, равной нулю (см. рисунок). Сопротивлением воздуха пренебречь.


Из приведённого ниже списка выберите все правильные утверждения относительно движения маятника.
1) При движении из положения 2 в положение 3 модуль проекции ускорения груза маятника на ось x уменьшается.
2) Потенциальная энергия маятника во второй раз достигнет своего максимума через 4 с после начала движения.
3) Через 2 с маятник первый раз вернётся в положение 1.
4) Кинетическая энергия маятника в первый раз достигнет своего максимума через 0,5 с после начала движения.
5) При движении из положения 2 в положение 3 полная механическая энергия маятника увеличивается.
Ответ: ____.

Источники:
1. ЕГЭ. Физика. Отличный результат / под ред. М. Ю. Демидовой. — Москва: Издательство «Национальное образование», 2022. — 736 с. — (ЕГЭ. ФИПИ — школе).
2. ЕГЭ. Физика. Отличный результат / под ред. М. Ю. Демидовой. — Москва: Издательство «Национальное образование», 2024. — 496 с. — (ЕГЭ. Отличный результат. Учебная книга).

Решение. Построение изображения смотрите в решении ФИПИ.
Определим знаки величин: линза собирающая поэтому F > 0; предмет действительный — d > 0; из построений следует, что изображение действительное — f > 0.
Для решения будем использовать формулу тонкой линзы
\[\frac{1}{F}=D=\frac{1}{d}+\frac{1}{f}\ \ \ (1)\]
и формулу поперечного увеличения
\[\Gamma =\frac{h}{H}=\frac{f}{d}.\ \ \ (2)\]
Площадь четырехугольника A₁B₁C₁D₁ можно найти как сумму площадей нескольких фигур (см. рисунок в построениях ФИПИ). Например, или 1 вариант (ΔA₁C₁D₁ и ΔA₁B₁C₁), или 2 вариант (ΔA₁B₁D₁ и ΔB₁C₁D₁).
Воспользуемся первым вариантом. В силу симметрии площади ΔA₁C₁D₁ и ΔA₁B₁C₁ равны, поэтому
\[S_{A_{1}B_{1}C_{1}D_1}=2S_{A_{1}C_{1}D_1}=2 \cdot \frac{A_{1}C_1 \cdot \frac{B_{1}D_1}{2}}{2}=\frac{A_{1}C_1 \cdot B_{1}D_1}{2}.\ \ \ (3)\]
Найдем значение B₁D₁. Запишем уравнения (1) и (2) для отрезка BD
\[D=\frac{1}{d_1}+\frac{1}{f_1},\ \ \Gamma =\frac{B_{1}D_1}{BD}=\frac{f_1}{d_1},\]
где d₁ = 1 м, \( BD=a\cdot \sqrt{2} \) — диагональ квадрата со стороной a = 0,1 м. Решим систему этих уравнений. Например,
\[\frac{1}{f_1}=D-\frac{1}{d_1}=\frac{D\cdot d_1-1}{d_1},\ \ f_1=\frac{d_1}{D\cdot d_1-1},\]
\[B_{1}D_1=\frac{f_1}{d_1}\cdot BD=\frac{BD}{D\cdot d_1-1}=\frac{a\cdot \sqrt{2}}{D\cdot d_1-1},\]

Найдем значение A₁C₁. Запишем уравнение (1) для точек A и С
\[D=\frac{1}{d_2}+\frac{1}{f_2},\ \ D=\frac{1}{d_3}+\frac{1}{f_3},\]
где
\[d_2=d_1+\frac{a\cdot \sqrt{2}}{2},\ \ d_3=d_1-\frac{a\cdot \sqrt{2}}{2}\ -\]
к расстоянию d₁ добавляем и отнимаем половина диагонали квадрата со стороной a = 0,1 м. Найдем значения f₂ и f₃ из полученных уравнений
\[\frac{1}{f_2}=D-\frac{1}{d_2}=\frac{D\cdot d_2-1}{d_2},\ \ f_2=\frac{d_2}{D\cdot d_2-1},\ \ f_3=\frac{d_3}{D\cdot d_3-1}.\]
\[f_2=\frac{d_1+\frac{a\cdot \sqrt{2}}{2}}{D\cdot \left( d_1+\frac{a\cdot \sqrt{2}}{2} \right)-1}=\frac{2d_1+a\cdot \sqrt{2}}{D\cdot \left( 2d_1+a\cdot \sqrt{2} \right)-2},\]
\[f_3=\frac{d_1-\frac{a\cdot \sqrt{2}}{2}}{D\cdot \left( d_1-\frac{a\cdot \sqrt{2}}{2} \right)-1}=\frac{2d_1-a\cdot \sqrt{2}}{D\cdot \left( 2d_1-a\cdot \sqrt{2} \right)-2},\]

Отрезок A₁C₁ будет равен
\[A_{1}C_1=f_3-f_2,\]

Подставим полученные значения A₁C₁ и B₁D₁ в уравнение (3) и получим:


Ответ: 102 см².

Информация ФИПИ. В задачах второго типа крайне сложным для участников экзамена является построение изображения. К сожалению, значимая часть приступающих к решению не понимает, что существуют продольные искажения, и пытаются построить изображение квадрата в виде квадрата.
Требований к выбору лучей, при помощи которых строится изображение, нет. Однако стоит придерживаться данных ниже рекомендаций.
- Можно не строить лучи для предметов, находящихся на двойном фокусном расстоянии, сразу указывая их изображение на том же расстоянии от линзы, но необходимо словесное указание на факт равенства этих расстояний при этом условии.
- Для точек, находящихся на главной оптической оси (или в других случаях, когда это необходимо), нужно пользовать построением изображения точки при помощи побочной оптической оси.
- Желательно оптимизировать количество лучей, при помощи которых можно получить изображение предмета, не загромождать построение лишними лучами.

Построения ФИПИ. 1. Проведем три параллельных луча через вершины A, B и C квадрата, а также параллельную им побочную оптическую ось. Проведенные лучи после преломления линзой пересекаются в одной точке, лежащей в фокальной плоскости. Точки пересечения с главной оптической осью линзы двух преломленных лучей дадут изображения A₁ и C₁ точек A и C квадрата.
2. Для получения изображения точки B необходимо построить еще одну побочную ось, которая пересекает третий преломленный луч и дает изображение B₁. В силу симметрии предмета относительно главной оптической оси его изображение также будет симметричным. (Поскольку точки B и D находятся на двойном фокусном расстоянии, то это построение можно не проводить, сделать соответствующее словесное указание.)


Напомним, что задачи на изображения в линзах могут решаться через формулы из кодификатора (формулу линзы и формулу для увеличения линзы), а могут — из геометрических соображений. Для последнего способа очень важно четкое указание на рисунке всех используемых расстояний, описания подобных треугольников и т.п.

Пример 30.
Квадрат со стороной a = 10 см лежит в плоскости главной оптической оси тонкой собирающей линзы с оптической силой D = 2 дптр так, что одна из его диагоналей перпендикулярна главной оптической оси линзы (см. рисунок). Расстояние от центра квадрата до плоскости линзы d₁ = 1 м. Определите площадь изображения квадрата в линзе. Сделайте рисунок, на котором постройте изображение квадрата в линзе, указав ход всех необходимых для построения лучей.


Источник:
1. Демидова М.Ю., Грибов В.А. Методические рекомендации для учителей, подготовленные на основе анализа типичных ошибок участников ЕГЭ 2025 года по физике. Москва, 2025.

Решение. Определим знаки величин: на экране можно получить только действительное изображение, следовательно f > 0, а линза собирающая и F > 0; предмет действительный — d > 0.
1 случай. Линза дает увеличение Г = 5. Расстояния от линзы до предмета d и от линзы до изображения f связаны между собой соотношением
\[\Gamma =\frac{f}{d}=5\ \ \text{или}\ \ f=5d.\]
Подставим полученное выражение в формулу тонкой линзы и найдем d и f:
\[\frac{1}{F}=\frac{1}{d}+\frac{1}{f}=\frac{1}{d}+\frac{1}{5d}=\frac{6}{5d},\]
\[d=\frac{6F}{5},\ \ d=\frac{6\cdot 30}{5}=36\ \text{см},\]
\[f=5\cdot 36=180\ \text{см}.\]

2 случай. Так как экран пододвинули к линзе на x см, то расстояние f₂ уменьшилось, а значение x будет равно
\[x=f-f_2.\ \ \ (1)\]
Запишем формулу тонкой линзы для этого случая:
\[\frac{1}{F}=\frac{1}{d_2}+\frac{1}{f_2}.\]
Значение левой части уравнения не изменилось, поэтому и правая часть не изменится. Следовательно, если расстояние f₂ уменьшилось, то расстояние d₂ должно увеличится. При перемещении предмета на y = 3 см, расстояние d₂ станет равным
\[d_2=d+y,\ \ d_2=36+3=39\ \text{см}.\]
Найдем значение f₂ из формулы тонкой линзы
\[\frac{1}{f_2}=\frac{1}{F}-\frac{1}{d_2}=\frac{d_2-F}{F\cdot d_2},\ \ f_2=\frac{F\cdot d_2}{d_2-F},\]
\[f_2=\frac{30\cdot 39}{39-30}=130\ \text{см}.\]
Тогда из уравнения (1) получаем
\[x=180-130=50\ \text{см}.\]
Ответ: 50 см.