К2.1. Длина рукоятки ворота 60 см, радиус вала 15 см (см рисунок). Какую максимальную массу m можно равномерно поднимать при помощи ворота, прикладывая к рукоятке силу 75 Н? Трением пренебречь.


Ответ: _____ кг.

Источники:
1. ЕГЭ. Физика. Отличный результат / под ред. М. Ю. Демидовой. — Москва: Издательство «Национальное образование», 2022. — 736 с. — (ЕГЭ. ФИПИ — школе).
2. ЕГЭ. Физика. Отличный результат / под ред. М. Ю. Демидовой. — Москва: Издательство «Национальное образование», 2024. — 496 с. — (ЕГЭ. Отличный результат. Учебная книга).

Решение. На груз в жидкости действуют сила тяжести m·g, архимедова сила F_A и сила натяжения нити Т. Ось 0Y направим вверх (см. рисунок).


Задачу будем решать в системе отсчета, связанной с поверхностью Земли, которую считаем инерциальной. Груз будем считать твердым телом, так как не изменяются его форма и размеры. Данное тело и жидкость покоятся в этой системе отсчета. Запишем условие равновесия твердого тела в ИСО относительно поступательного движения (покоя) в векторном виде и в проекциях на ось 0Y:
\[\vec{F}_A + m \cdot \vec{g} + \vec{T} = 0,\ \ 0Y:\ F_A-m \cdot g + T = 0,\]
где
\[F_A = \rho \cdot g \cdot V_{\text{погр}},\ \ V_{\text{погр}} = V-\]
объем груза (так как груз целиком погружен в жидкость), ρ — плотность неизвестной жидкости. Тогда
\[\rho \cdot g \cdot V-m \cdot g + T = 0,\ \ \rho = \frac{m \cdot g-T}{g \cdot V},\]
\[\rho = \frac{2 \cdot 10-12}{10 \cdot 10^{-3}} = 800\ \text{кг/м}^3.\]
Ответ: 800 кг/м³.

22.10 (25.10). Груз массой m = 2,0 кг и объёмом V = 10^–3 м³, подвешенный на тонкой нити, целиком погружён в жидкость и не касается дна сосуда (см. рисунок). Модуль силы натяжения нити T = 12 Н. Найдите плотность жидкости.


Ответ: ____ кг/м³.

Источники:
1. ЕГЭ. Физика. Отличный результат / под ред. М. Ю. Демидовой. — Москва: Издательство «Национальное образование», 2022. — 736 с. — (ЕГЭ. ФИПИ — школе).
2. ЕГЭ. Физика. Отличный результат / под ред. М. Ю. Демидовой. — Москва: Издательство «Национальное образование», 2024. — 496 с. — (ЕГЭ. Отличный результат. Учебная книга).

Решение. Задачу будем решать в системе отсчета, связанной с поверхностью Земли, которую считаем инерциальной. Считаем, что жидкости покоятся в этой системе отсчета. Тогда давление p в жидкости и высота столбца жидкости h над данной точкой связаны соотношением
\[p = \rho \cdot g \cdot h + p_0,\]
где ρ — плотность жидкости, p₀ — атмосферное давление.
Выбираем две точки А и В на дне сообщающихся сосудов (см. рисунок).


Для сообщающихся сосудов выполняются условие равновесия жидкости, т.е.
\[p_A = p_B,\]
где высоту столбца неизвестной жидкости найдем из рисунка h₁ = H – b, ρ₂ = 1000 кг/м³ — плотность воды, которую находим из таблицы «Плотность» (см. «Справочные данные»), ρ₁ — плотность неизвестной жидкости,
\[p_A = \rho _1 \cdot g \cdot \left( H-b \right) + \rho _2 \cdot g \cdot b + p_0,\ \ p_B = \rho _2 \cdot g \cdot h + p_0.\]
Тогда
\[\rho _2 \cdot g \cdot b + \rho _1 \cdot g \cdot \left( H-b \right) + p_0 = \rho _2 \cdot g \cdot h + p_0,\]
\[\rho _2 \cdot b + \rho _1 \cdot \left( H-b \right) = \rho _2 \cdot h,\ \ \rho _1 = \frac{\rho _2 \cdot \left( h-b \right)}{H-b},\]
\[\rho _1 = \frac{1000 \cdot \left( 40-20 \right)}{45-20} = 800\ \text{кг/м}^3.\]
Ответ: 800 кг/м³.

22.7 (25.7). В U-образную трубку с открытыми широкими коленами налиты неизвестная жидкость и вода (см. рисунок). На рисунке b = 20 см, h = 40 см, H = 45 см. Чему равна плотность неизвестной жидкости?


Ответ: ____ кг/м³.

Источники:
1. ЕГЭ. Физика. Отличный результат / под ред. М. Ю. Демидовой. — Москва: Издательство «Национальное образование», 2022. — 736 с. — (ЕГЭ. ФИПИ — школе).
2. ЕГЭ. Физика. Отличный результат / под ред. М. Ю. Демидовой. — Москва: Издательство «Национальное образование», 2024. — 496 с. — (ЕГЭ. Отличный результат. Учебная книга).

Решение. На ворот действуют сила F, сила натяжения подвеса T, сила тяжести вала ворота M∙g, сила реакции оси N вала ворота (см. рисунок).


На груз действуют сила тяжести m·g и сила натяжения подвеса T₁.
Задачу будем решать в системе отсчета, связанной с поверхностью Земли, которую считаем инерциальной. Рукоятку ворота и вал ворота будем считать твердыми телами, так как не изменяются их форма, размеры и расстояние между любыми двумя их точками.
Так как груз поднимают равномерно прямолинейно, то считаем, что груз находится в равновесии, а его движение поступательное. Запишем условие равновесия твердого тела в ИСО относительно поступательного движения:
\[m \cdot \vec{g} + \vec{T}_1 = 0.\]
Из проекции уравнения на вертикальную ось получаем
\[T_1 = m \cdot g.\]
Будем считать подвес невесомым. Тогда
\[T = T_1 = m \cdot g.\]
Вал ворота вращается относительно точки O.
Плечи сил N и M·g относительно точки О равны l_O = 0, поэтому моменты этих сил равны
\[M_{O1} = M_{O2} = 0.\]
Плечо силы натяжения подвеса T = m·g равно ОB = R = 15 см. Данная сила стремится вращать вал относительно точки О по часовой стрелке, поэтому
\[M_B = -m \cdot g \cdot R.\]
Плечо силы F равно OA = l. Данная сила стремится вращать рычаг относительно точки О против часовой стрелки, поэтому
\[M_A = F \cdot l.\]
Вал вращается равномерно. Запишем условие равновесия твердого тела в ИСО относительно вращательного движения:
\[M_{O1} + M_{O2} + M_A + M_B = 0\ \ \text{или}\]
\[0 + 0-m \cdot g \cdot R + F \cdot l = 0.\]
Тогда
\[l = \frac{m \cdot g \cdot R}{F},\ \ l = \frac{30 \cdot 10 \cdot 15}{75} = 60\ \text{см}.\]
Ответ: 60 см.

Примечание: 1) В условие задачи желательно добавить, что подвес (веревка, трос) для груза невесомый, а сила F во время движения остается перпендикулярной рукоятке ворота.
2) А все ли ученики понимают значения словосочетаний «вал ворота», «рукоятка ворота»? Желательно эти слова заменить или пояснить, а в условии добавить: «Какой длины l должна быть рукоятка ворота ...»

22.6 (25.6). Какой длины должна быть рукоятка ворота, чтобы при усилии в 75 Н равномерно поднимать груз массой 30 кг? Радиус вала ворота 15 см. Трением пренебречь.


Ответ: ____ см.

Источники:
1. ЕГЭ. Физика. Отличный результат / под ред. М. Ю. Демидовой. — Москва: Издательство «Национальное образование», 2022. — 736 с. — (ЕГЭ. ФИПИ — школе).
2. ЕГЭ. Физика. Отличный результат / под ред. М. Ю. Демидовой. — Москва: Издательство «Национальное образование», 2024. — 496 с. — (ЕГЭ. Отличный результат. Учебная книга).

Решение. Сила тяжести рычага будет приложена к его середине. Так как b < L/2, то центр тяжести рычага находится правее груза M.
На рычаг действуют сила тяжести рычага m·g, сила натяжения нити T, сила реакции опоры N и сила F (см. рисунок).


На груз действуют сила тяжести M·g и сила натяжения нити T₁.
Задачу будем решать в системе отсчета, связанной с поверхностью Земли, которую считаем инерциальной. Рычаг и груз будем считать твердыми телами, так как не изменяются их форма, размеры и расстояние между любыми двумя их точками.
Так как груз медленно поднимается, то такое движение будет считать равномерным поступательным, а груз, находящимся в равновесии. Запишем условие равновесия твердого тела в ИСО относительно поступательного движения:
\[M \cdot \vec{g} + \vec{T}_1 = 0.\]
Из проекции уравнения на вертикальную ось получаем
\[T_1 = M \cdot g.\]
Будем считать нить невесомой. Тогда
\[T = T_1 = M \cdot g.\]
Рычаг вращается относительно точки O.
Плечо силы N относительно точки О равно l_O = 0, поэтому момент этой силы равен
\[M_O = 0.\]
Плечо силы натяжения нити T = M·g равно ОА = b. Данная сила стремится вращать рычаг относительно точки О по часовой стрелке, поэтому
\[M_A = -M \cdot g \cdot b.\]
Плечо силы тяжести рычага m∙g равно OC = L/2. Данная сила стремится вращать рычаг относительно точки О по часовой стрелке, поэтому
\[M_C = -m \cdot g \cdot \frac{L}{2}.\]
Плечо силы F равно OB = L. Данная сила стремится вращать рычаг относительно точки О против часовой стрелки, поэтому
\[M_B = F \cdot L.\]
Рычаг неподвижен относительно оси вращения в точке O. Запишем условие равновесия твердого тела в ИСО относительно вращательного движения:
\[M_O + M_A + M_C + M_B = 0\ \ \text{или}\]
\[0-M \cdot g \cdot b-m \cdot g \cdot \frac{L}{2} + F \cdot L = 0.\]
Тогда
\[F = \frac{\left( 2M \cdot b + m \cdot L \right) \cdot g}{2L},\ \ F = \frac{\left( 2 \cdot 80 \cdot 1 + 20 \cdot 4 \right) \cdot 10}{2 \cdot 4} = 300\ \text{H}.\]
Ответ: 300 Н.

Примечание: В условие задачи желательно добавить, что нить невесомая, а сила F во время движения остается перпендикулярной рычагу.

22.5 (25.5). Груз поднимают с помощью рычага (см. рисунок). Рычаг состоит из шарнира без трения и однородного стержня массой m = 20 кг и длиной L = 4 м. Расстояние от оси шарнира до точки подвеса груза b = 1 м. Какую вертикальную силу надо приложить к концу рычага, чтобы медленно поднимать груз массой M = 80 кг?


Ответ: ____ Н.

Источники:
1. ЕГЭ. Физика. Отличный результат / под ред. М. Ю. Демидовой. — Москва: Издательство «Национальное образование», 2022. — 736 с. — (ЕГЭ. ФИПИ — школе).
2. ЕГЭ. Физика. Отличный результат / под ред. М. Ю. Демидовой. — Москва: Издательство «Национальное образование», 2024. — 496 с. — (ЕГЭ. Отличный результат. Учебная книга).

Решение. На рычаг действуют сила F, сила натяжения нити T и сила реакции опоры N (см. рисунок). По условию силой тяжести рычага пренебрегаем.


На груз действуют сила тяжести m·g и сила натяжения нити T₁.
Задачу будем решать в системе отсчета, связанной с поверхностью Земли, которую считаем инерциальной. Рычаг и груз будем считать твердыми телами, так как не изменяются их форма, размеры и расстояние между любыми двумя их точками.
Так как груз неподвижен, то запишем условие равновесия твердого тела в ИСО относительно поступательного движения:
\[m \cdot \vec{g} + \vec{T}_1 = 0.\]
Из проекции уравнения на вертикальную ось получаем
\[T_1 = m \cdot g.\]
Будем считать нить невесомой, а блок идеальным. Тогда
\[T = T_1 = m \cdot g.\]
Пусть длина одного деления на рычаге равна x.
Рычаг вращается относительно точки O.
Плечо силы N относительно точки О равно l_O = 0, поэтому момент этой силы равен
\[M_O = 0.\]
Плечо силы натяжения нити T = m·g равно ОA = 4x. Данная сила стремится вращать рычаг относительно точки О по часовой стрелке, поэтому момент этой силы равен
\[M_A = -m \cdot g \cdot 4x.\]
Плечо силы F равно ОB = 2x. Данная сила стремится вращать рычаг относительно точки О против часовой стрелки, поэтому
\[M_B = F \cdot 2x.\]
Рычаг неподвижен относительно оси вращения в точке O. Запишем условие равновесия твердого тела в ИСО относительно вращательного движения:
\[M_A + M_B + M_O = 0\ \ \text{или}\]
\[-m \cdot g \cdot 4x + F \cdot 2x + 0 = 0.\]
Тогда
\[4m \cdot g = 2F,\ \ m = \frac{F}{2g},\ \ m = \frac{15}{2 \cdot 10} = 0,75\ \text{кг}.\]
Ответ: 0,75 кг.

Примечание: В условие задачи желательно добавить, что нить невесомая, а блок идеальный.