Пример 19. Деревянная линейка длиной l = 60 см выдвинута за край стола на 1/4 часть своей длины. При этом она не опрокидывается, если на её правом конце лежит груз массой не более 250 г (см. рисунок). На какое расстояние можно выдвинуть вправо за край стола эту линейку, если на её правом конце лежит груз массой 125 г?
Ответ: ____ см.

Основные затруднения здесь — в непонимании сил, действующих на линейку в этих случаях, и математических ошибках в определении плеч сил (прежде всего плеча силы тяжести линейки). При максимальной массе груза, который неподвижен относительно линейки, сила реакции стола действует на линейку только по краю стола.

Источник: Демидова М.Ю., Грибов В.А. Методические рекомендации для учителей, подготовленные на основе анализа типичных ошибок участников ЕГЭ 2021 года по физике //Педагогические измерения. - 2021. - № 4. - С. 132-150.

Решение. 1 случай. На краю линейке лежит груз массой m₁ = 250 г.
Пусть O₁ — край стола, А — левый конец линейки, В — середина линейки. Тогда по условию
\[ AC=l=60\ \text{см},\ \ O_1C=\frac{l}{4}. \]
Сила тяжести линейки будет приложена к ее середине в точке В. Так как расстояние O₁С < l/2, то точка В будет левее точки O₁.
Обратите внимание, что так как по условию линейка «не опрокидывается, если на её правом конце лежит груз массой не более 250 г», то при грузе m₁ = 250 г линейка будет опираться на стол только в точке O₁.
На линейку действуют сила тяжести линейки m_л·g, сила тяжести груза m₁·g, сила реакции опоры N₁ в точке O₁ (рис. а).
Запишем условие равновесия тела, имеющего ось вращения в точке O₁, для трех сил
\[ \pm M_1 \pm M_2 \pm M_3=0. \]
Плечо силы тяжести m_л·g линейки равно O₁В. Данная сила стремится вращать линейку относительно точки O₁ против часовой стрелке, поэтому

\[ O_1B= BC-O_1C = \frac{l}{2}-\frac{l}{4}=\frac{l}{4},\ \ M_1= m_{\text{л}} \cdot g \cdot O_1B = m_{\text{л}} \cdot g \cdot \frac{l}{4}. \]
Плечо силы N₁ равно нулю, так как линия действия силы проходит через точку O₁. Тогда момент M₂ силы N₁ относительно точки O₁ так же равен нулю.
Плечо силы тяжести груза m₁·g равно O₁C. Данная сила стремится вращать линейку относительно точки O₁ по часовой стрелки, поэтому

\[ M_3= m_1 \cdot g \cdot O_1 = m_1 \cdot g \cdot \frac{l}{4}. \]
Условие равновесия тела с учетом знаков примет вид
\[ M_1-M_3=0,\ \ m_{\text{л}} \cdot g \cdot \frac{l}{4}-m_1 \cdot g \cdot \frac{l}{4}=0. \]
Тогда
\[ m_{\text{л}} \cdot g \cdot \frac{l}{4}= m_1 \cdot g \cdot \frac{l}{4},\ \ m_{\text{л}} =m_1. \]

2 случай. На краю линейке лежит груз массой m₂ = 125 г.
Чтобы линейка оставалась в равновесии, ее нужно сдвинуть вправо (m₂ < m₁, поэтому плечо силы тяжести груза надо увеличить). Пусть край стола будет точка O₂ (рис.б). Тогда, по аналогии с решением для случая 1, можем записать условие равновесия линейки относительно точки O₂ с грузом m₂:
\[ m_{\text{л}} \cdot g \cdot O_2B-m_2 \cdot g \cdot O_2C = 0,\ \ O_2B=BC-O_2C= \frac{l}{2}-O_2C. \]
Обозначим O₂C = x и учтем, что m_л = m₁. Решим полученное уравнение и найдем х:
\[ m_1 \cdot g \cdot \left( \frac{l}{2}-x \right)-m_2 \cdot g \cdot x=0,\ \ m_1 \cdot \frac{l}{2}- m_1 \cdot x-m_2 \cdot x=0, \]
\[ \left( m_1+ m_2 \right) \cdot x= \frac{m_1 \cdot l}{2},\ \ x=\frac{m_1 \cdot l}{2 \cdot \left( m_1+ m_2 \right)}, \]
x = 20 см.
Ответ: 20 см.