Решение. Импульсы систему тел изменяются из-за их столкновения. До удара двигались тела отдельно друг от друга. После абсолютно неупругого удара тела двигались вместе.
Сделаем схематический чертеж. Пусть скорость υ₁ первого шарика до столкновения будет направлена вправо, а скорость υ₂ второго шарика — вниз (вид сверху). Направление скорости υ шариков после столкновения неизвестно. Оси 0X и 0Y направим так, как показано на рисунке 1.


Все тела будем считать материальными точками, так как они движутся поступательно.
Так как по условию шарики одинаковые, то их массы равны m₁ = m₂ = m.
До взаимодействия в системе двигались два тела раздельно, поэтому начальный импульс системы тел равен
\[\vec{p}_0=m\cdot \vec{\upsilon }_1+m\cdot \vec{\upsilon }_2.\ \ \ (1)\]
После взаимодействия в системе два тела двигались вместе. Тогда можем считать их как одно тело с массой 2m и скоростью υ, а конечный импульс системы тел равен
\[\vec{p}=2m\cdot \vec{\upsilon }.\ \ \ (2)\]
Задачу будем решать в инерциальной системе отсчета, связанной с поверхностью Земли. Для системы тел «два шарика» равнодействующие внешних сил равны нулю (силы тяжести m·g скомпенсированы силами реакции опоры N). Тогда для данной системы материальных точек в ИСО можем записать закон сохранения импульса в векторном виде:
\[\vec{p}_0=\vec{p}.\]
С учетом уравнений (1) и (2) получаем
\[m\cdot \vec{\upsilon }_1+m \cdot \vec{\upsilon }_2=2m\cdot \vec{\upsilon }.\ \ \ (3)\]
По условию υ₁ = 2υ₂, υ₁ = 2 м/с (более быстрый шарик). Тогда
\[\upsilon _2=\frac{\upsilon _1}{2}=\frac{2}{2}=1\ \text{м/с}.\]
1 способ (через проекции). Так как тела движутся не вдоль одной прямой, то необходимо выбрать двухмерную систему координат, и тогда скорость шариков после столкновения будет равна
\[\upsilon =\sqrt{\upsilon _x^2+\upsilon _y^2}.\ \ \ (4)\]
Запишем уравнение (3) в проекциях на оси координат (см. рисунок):
\[0X:\ m\cdot \upsilon _1=2m\cdot \upsilon _x,\ \ \upsilon _x=\frac{\upsilon _1}{2},\]
\[0Y:\ m\cdot \upsilon _2=2m\cdot \upsilon _y,\ \ \upsilon _y=\frac{\upsilon _2}{2}.\]
Подставим полученные уравнения в уравнение (4) и учтем, что υ₁ = 2 м/с, υ₂ = 1 м/с:
\[\upsilon =\sqrt{\frac{\upsilon _1^2}{4}+\frac{\upsilon _2^2}{4}}=\sqrt{\frac{\upsilon _1^2+\upsilon _2^2}{4}},\ \ \upsilon =\sqrt{\frac{2^2+1^2}{4}}\approx 1,12\ \text{м/с}.\]
2 способ (векторный). Построим треугольник импульсов по уравнению (3) (см. рисунок 2).


Данный треугольник прямоугольный, в котором импульс 2m·υ является гипотенузой, а импульсы m·υ₁ и m·υ₂ — катеты. Тогда по теореме Пифагора получаем
\[2m\cdot \upsilon =\sqrt{{\left( m\cdot \upsilon _1 \right)}^2+{\left( m\cdot \upsilon _2 \right)}^2},\ \ \upsilon =\frac{\sqrt{\upsilon _1^2+\upsilon _2^2}}{2},\]
\[\upsilon =\frac{\sqrt{2^2+1^2}}{2}\approx 1,12\ \text{м/с}.\]
Ответ: 1,12 м/с.

Информация ФИПИ. Обязательным элементом решения этой задачи была запись закона сохранения импульса в векторной форме при абсолютно неупругом столкновении
\[m\cdot \vec{\upsilon }_1+m\cdot \vec{\upsilon }_2=2m\cdot \vec{u},\]
где u — скорость шариков после столкновения. И только после этого, поскольку векторы импульсов шариков перед соударением были взаимно перпендикулярны, нужно было записать соотношение
\[{{\left( m\cdot \upsilon _1 \right)}^2}+{{\left( m\cdot \upsilon _2 \right)}^2}= {{\left( 2m\cdot u \right)}^2}.\]
К сожалению, полностью выполнить требования к решению этой задачи смогли лишь 14 % участников экзамена.

Пример 16.
Столкнулись два одинаковых пластилиновых шарика, движущихся по гладкой горизонтальной поверхности, причём векторы их скоростей непосредственно перед столкновением были взаимно перпендикулярны и вдвое различались по модулю: υ₁ = 2υ₂. Какова скорость шариков после абсолютно неупругого столкновения, если перед столкновением скорость более быстрого шарика была равна по модулю 2 м/с?

Источник:
1. Демидова М.Ю., Грибов В.А. Методические рекомендации для учителей, подготовленные на основе анализа типичных ошибок участников ЕГЭ 2025 года по физике. Москва, 2025.

Решение. По условию количество вещества ν = 1 моль = const.
Внутренняя энергия U идеального одноатомного газа и его объём V связаны соотношением
\[U=\frac{3}{2}\cdot p\cdot V.\ \ \ (1)\]
Внутренняя энергия U идеального одноатомного газа и его температура T связаны соотношением
\[U=\frac{3}{2}\cdot \nu \cdot R\cdot T.\ \ \ (2)\]
Обозначим значения одной клетки по оси V как V₀, по оси U — U₀, по оси p — p₀. Тогда из графиков условия определяем:


Участок 1-2. Из графика определяем, что внутренняя энергия U газа не изменяется U₁ = U₂. Тогда при ν = const из уравнения (2) следует, что температура T газа так же не изменяется. Это изотермический процесс. График такого процесса в осях p-V — гипербола. Определим значение p₂.
1 способ. Из уравнения изотермического процесса (см. решение ФИПИ пункт 2).
2 способ. Распишем уравнение (1) для первого и второго состояния и решим систему уравнений:
\[U_1=\frac{3}{2}\cdot p_1\cdot V_1,\ \ U_2=\frac{3}{2}\cdot p_2\cdot V_2,\]
\[U_1=U_2,\ \ \frac{3}{2}\cdot p_1\cdot V_1=\frac{3}{2}\cdot p_2\cdot V_2,\]
\[p_2=\frac{p_1\cdot V_1}{V_2}=\frac{4p_0\cdot 2V_0}{4V_0}=2p_0.\]

Участок 2-3. Из графика U-V определяем, что продолжение прямой 2-3 проходит через точку 0 графика. Следовательно, то внутренняя энергия U газа прямопропорционально его объёму V, т.е.
\[U=\alpha \cdot V,\]
где α — коэффициент пропорциональности, величина постоянная. Тогда из уравнения (1) получаем
\[\alpha \cdot V=\frac{3}{2}\cdot p\cdot V,\ \ p=\frac{2\alpha }{3}=\text{const}.\]
Это изобарный процесс, p₂ = p₃. График такого процесса в осях p-V — прямая линия, перпендикулярная оси p.
Ответ. График процесса в осях p-V показан на рисунке.

Информация ФИПИ. В задачах такого типа всегда используются графики с учетом указания координат параметров в явном виде или при помощи сетки на графике. К ним применимы все те рекомендации, которые были даны выше. Дополнением могут служить следующие рекомендации.
- В процессе рассуждений необходимо описывать, во сколько раз меняются искомые параметры, а не ограничиваться только указанием этого на графике в ответе.
- Целесообразно в случае гиперболы указывать в рассуждениях вид графика. К сожалению, не всегда в графике, который является ответом, можно четко прорисовать такую кривую.

Решение ФИПИ. 1. Внутренняя энергия идеального одноатомного газа пропорциональна его абсолютной температуре:
\[U=\frac{3}{2}\cdot \nu \cdot R\cdot T.\]
2. На участке 1-2 температура газа не меняется, происходит изотермическое расширение, давление в этом процессе в соответствии с законом Бойля - Мариотта \(  \left( p_1\cdot V_1=p_2\cdot V_2 \right) \) уменьшается в 2 раза. В координатах p-V график является гиперболой.
3. На участке 2-3 внутренняя энергия, а также температура пропорциональны объему, процесс при постоянном количестве вещества согласно уравнению Клапейрона - Менделеева \(  \left( p\cdot V=\nu \cdot R\cdot T \right) \) является изобарным расширением, давление в нем не меняется, а объем в соответствии с графиком на рис. 1 увеличивается в 2 раза. В координатах p-V график является отрезком горизонтальной прямой.
4. Ответ:

Пример 27.
На рис. 1 приведена зависимость внутренней энергии U 1 моль идеального одноатомного газа от его объёма V в процессе 1-2-3. Постройте график этого процесса в переменных p-V (p — давление газа). Точка, соответствующая состоянию 1, уже отмечена на рис. 2. Построение объясните, опираясь на законы молекулярной физики.


Источник:
1. Демидова М.Ю., Грибов В.А. Методические рекомендации для учителей, подготовленные на основе анализа типичных ошибок участников ЕГЭ 2025 года по физике. Москва, 2025.

Решение. По условию количество вещества ν во всех процессах постоянно.
На каждом участке определять получает газ теплоту или отдаёт будем из первого закона термодинамики:
\[Q=\Delta U+A.\ \ \ (1)\]
Если Q > 0, то газ получает теплоту; если Q < 0 — газ отдает теплоту.
Участок 1-2. Так как в осях p(ρ) прямая графика проходит через точку 0, то давление p прямопропорционально плотности ρ, т.е.
\[p=\alpha \cdot \rho ,\]
где α — коэффициент пропорциональности, величина постоянная. Тогда из уравнения Менделеева-Клапейрона получаем
\[p=\frac{\rho \cdot R\cdot T}{M},\ \ T=\frac{p\cdot M}{\rho \cdot R}=\frac{\alpha \cdot \rho \cdot M}{\rho \cdot R}=\frac{\alpha \cdot M}{R}=\text{const,}\]
так как молярная масса M для данного газа — величина постоянная. Следовательно, это изотермический процесс.
При изотермическом процессе ΔU₁₂ = 0.
Из уравнения изотермического процесса (p·V = const) следует, что если давление p газа уменьшается, то его объем V увеличивается и наоборот. По графику определяем, что давление p газа увеличивается, поэтому его объем V уменьшается. Следовательно, работа газа отрицательна: A₁₂ < 0.
Тогда из уравнения (1) получаем, что
\[Q_{12}=\Delta U_{12}+A_{12}=A_{12}<0.\]
Газ отдает теплоту.

Участок 2-3. Так как прямая графика перпендикулярна оси ρ, то плотность газа ρ = const. По определению плотность газа равна
\[\rho =\frac{m}{V}.\]
Так как по условию количество вещества ν во всех процессах постоянно, то масса m газа так же не будет изменяться. А при постоянной плотности ρ объем газа V = const и это изохорный процесс.
При изохорном процессе работа газа A₂₃ = 0.
Из уравнения изохорного процесса \(  \left( \frac{p}{T}=\text{const} \right) \) следует, что давление p и температура T газа изменяются одинаково. По графику определяем, что давление p газа увеличивается, поэтому его температура T так же увеличивается.
Для идеального одноатомного газа его внутренняя энергия равна
\[U=\frac{3}{2}\cdot \nu \cdot R\cdot T.\]
Следовательно, если его температура T увеличивается внутренняя энергия газа так же увеличивается и ΔU₂₃ > 0.
Тогда из уравнения (1) получаем, что
\[Q_{23}=\Delta U_{23}+A_{23}=\Delta U_{23}>0.\]
Газ получает теплоту.
Ответ. Газ количество теплоты на участке 1-2 отдает, на участке 2-3 получает.

Информация ФИПИ. Достаточно часто в таких заданиях предлагаются графике не в стандартных координатах давление — объем — температура, а в величинах, связанных с этими параметрами: концентрация молекул или плотность газа вместо объема, внутренняя энергия или средняя кинетическая энергия теплового движения молекул вместо абсолютной температуры. Поэтому первый шаг — это приведение к стандартным величинам с обязательной ссылкой на соответствующую формулу. Для задания из примера 26 необходимо указать: плотность газа ρ = m/V, где m — масса газа, V — его объем, тогда в соответствии с уравнением Клапейрона – Менделеева
\[p=\frac{\rho \cdot R\cdot T}{\mu }.\]
Следующий шаг — это ссылка на первый закон термодинамики и формулу для внутренней энергии идеального одноатомного газа. По первому закону термодинамики количество теплоты, которое газ получает, равно сумме изменения его внутренней энергии ΔU и работы газа A:
\[Q=\Delta U+A.\]
Для идеального одноатомного газа внутренняя энергия
\[U=\frac{3}{2}\cdot \frac{m}{\mu }\cdot R\cdot T,\]
где μ — молярная масса газа, m = const.
Далее необходимы рассуждения о каждом участке графика, указание на соответствующий изопроцесс, определение работы газа, изменения внутренней энергии и количества теплоты.

Решение ФИПИ. 1. На участке 1-2 плотность газа увеличивается прямо пропорционально его давлению, значит, согласно уравнению Клапейрона - Менделеева \(  p=\frac{\rho \cdot R\cdot T}{\mu } \) происходит изотермическое сжатие газа. Объем уменьшается, газ сжимают, следовательно, работа газа отрицательна: A < 0. Внутренняя энергия газа остается неизменной: ΔU = 0. По первому закону термодинамики Q < 0. В этом процессе газ отдает некоторое количество теплоты в окружающую среду.
2. Так как на участке 2-3 плотность газа не изменяется, его объем постоянен (изохорный процесс), значит, работа газа A = 0. В этом процессе давление газа растет, согласно уравнению Клапейрона - Менделеева температура газа также растет, т.е. его внутренняя энергия увеличивается: ΔU > 0. Значит, Q > 0, и газ в этом процессе получает некоторое количество теплоты.

Пример 26.
Постоянное количество одноатомного идеального газа участвует в процессе, график которого изображён на рисунке в координатах p-ρ, где p — давление газа, ρ — плотность газа. Определите, получает газ теплоту или отдаёт в процессах 1-2 и 2-3. Ответ поясните, опираясь на законы молекулярной физики и термодинамики.


Источник:
1. Демидова М.Ю., Грибов В.А. Методические рекомендации для учителей, подготовленные на основе анализа типичных ошибок участников ЕГЭ 2025 года по физике. Москва, 2025.

Решение. По условию количество вещества ν во всех процессах постоянно.
Участок 1-2. Так как в осях V(T) прямая графика проходит через точку 0, то объем V прямопропорционален температуре T, т.е.
\[V=\alpha \cdot T,\]
где α — коэффициент пропорциональности, величина постоянная. Тогда из уравнения Менделеева-Клапейрона получаем
\[p\cdot V=\nu \cdot R\cdot T,\ \ p=\frac{\nu \cdot R\cdot T}{V}=\frac{\nu \cdot R\cdot T}{\alpha \cdot T}=\frac{\nu \cdot R}{\alpha }=\text{const}.\]
Это изобарный процесс, давление газа постоянно.

Участок 2-3. Так как прямая графика перпендикулярна оси V, то объем газа V = const и это изохорный процесс. Из уравнения изохорного процесса \(  \left( \frac{p}{T}=\text{const} \right) \) следует, что давление p и температура T газа изменяются одинаково. По графику определяем, что температура T газа увеличивается, поэтому его давление p так же увеличивается.

Участок 3-4. Так как прямая графика перпендикулярна оси T, то температура газа T = const и это изотермический процесс. Из уравнения изотермического процесса (p·V = const) следует, что если объем V газа увеличивается, то его давление p уменьшается и наоборот. По графику определяем, что объем V газа увеличивается, поэтому его давление p уменьшается.
Ответ. Давление p на участке 1-2 постоянно, на участке 2-3 увеличивается, на участке 3-4 уменьшается.