ЕГЭ 2024. Физика. Отличный результат. Динамика 5.4

[Александр Сакович]

5.4 (6.4). В лабораторных опытах по изучению закона Гука резиновый жгут прикрепили к штативу, затем стали подвешивать к нему грузы разной массы и измерять линейкой удлинение жгута. Результаты опытов с учётом погрешностей представлены в таблице.

Выберите все утверждения, соответствующие результатам этих опытов.
1) Закон Гука выполняется во всех шести опытах.
2) Жёсткость жгута во всех опытах увеличивается с увеличением массы груза.
3) Закон Гука выполняется только в первых трёх опытах.
4) Жёсткость жгута в первых трёх опытах равна 20 Н/м.
5) Жёсткость жгута равна 40 Н/м.
Ответ: ____.

Источники:
1. ЕГЭ. Физика. Отличный результат / под ред. М. Ю. Демидовой. — Москва: Издательство «Национальное образование», 2022. — 736 с. — (ЕГЭ. ФИПИ — школе).
2. ЕГЭ. Физика. Отличный результат / под ред. М. Ю. Демидовой. — Москва: Издательство «Национальное образование», 2024. — 496 с. — (ЕГЭ. Отличный результат. Учебная книга).

[Александр Сакович]

Анализ условия. 1) Запись удлинения жгута в опыте № 1 Δl =x = (2,0 ± 0,1) см означает, что измеренная величина x принимает значения

от x_min = 2,0 – 0,1 = 1,9 см до x_max = 2,0 + 0,1 = 2,1 см.

Аналогично можно записать и для других опытов.
2) На груз, подвешенный на пружину, действуют сила тяжести m∙g, направленная вертикально вниз, и сила упругости пружины F_упр, направленная вертикально вверх. Так как груз неподвижен, то его ускорение a = 0. Ось 0Y направим вверх (см. рисунок).

Задачу будем решать в инерциальной системе отсчета, связанной с поверхностью Земли. Груз будем считать материальной точкой. Тогда можем применять второй закон Ньютона для груза. Запишем его в векторном виде и в проекциях на оси координат (учтем, что a = 0):
\[0=\vec{F}_{\text{упр}}+m \cdot \vec{g},\ \ 0Y:\ 0=F_{\text{упр}}-m \cdot g.\]
Предположим, что выполняется закон Гука:
\[F_{\text{упр}}=k \cdot x.\]
Тогда
\[F_{\text{упр}}=m \cdot g,\]
\[k \cdot x=m \cdot g.\ \ \ (1)\]

[Александр Сакович]

Решение. Проверим каждое утверждение.
1) Закон Гука выполняется во всех шести опытах.
3) Закон Гука выполняется только в первых трёх опытах.
1 способ. Если закон Гука выполняется, то можно применять уравнение (1). Тогда из этого уравнения следует, что удлинение жгута
\[x=\frac{g}{k} \cdot m.\]
Из полученного уравнения следует, что зависимость x(m) линейная, а значение x прямопропорционально m. Проверим это для всех опытов.
В опытах № 1 и № 2 масса m груза увеличивается в 2 раза (80/40 = 2), значит и удлинение x должно увеличится в 2 раза.
Из таблицы

x₁ = (2,0 ± 0,1) см, x₂ = (3,9 ± 0,1) см.

При увеличении в 2 раза удлинение x может принимать значения

2x₁ = (4,0 ± 0,2) см.

В значениях x₂ и 2x₁ есть общий промежуток от 3,8 до 4,0 см. Закон Гука выполняется.
В опытах № 1 и № 3 масса m груза увеличивается в 3 раза (120/40 = 3), значит и удлинение x должно увеличится в 3 раза.
Из таблицы

x₁ = (2,0 ± 0,1) см, x₃ = (6,1 ± 0,1) см.

При увеличении в 2 раза удлинение x может принимать значения

3x₁ = (6,0 ± 0,3) см.

В значениях x₃ и 3x₁ есть общий промежуток от 6,0 до 6,2 см. Закон Гука выполняется.
В опытах № 1 и № 4 масса m груза увеличивается в 4 раза (160/40 = 4), значит и удлинение x должно увеличится в 4 раза.
Из таблицы

x₁ = (2,0 ± 0,1) см, x₄ = (8,5 ± 0,1) см.

При увеличении в 4 раза удлинение x может принимать значения

4x₁ = (8,0 ± 0,4) см.

В значениях x₄ и 4x₁ есть общая точка 8,4 см. Закон Гука выполняется.
В опытах № 1 и № 5 масса m груза увеличивается в 5 раза (200/40 = 5), значит и удлинение x должно увеличится в 5 раза.
Из таблицы

x₁ = (2,0 ± 0,1) см, x₅ = (11,0 ± 0,1) см.

При увеличении в 5 раза удлинение x может принимать значения

5x₁ = (10,0 ± 0,5) см.

В значениях x₅ и 5x₁ нет общих точек. Закон Гука не выполняется.
В опытах № 1 и № 6 масса m груза увеличивается в 6 раза (240/40 = 6), значит и удлинение x должно увеличится в 6 раза.
Из таблицы

x₁ = (2,0 ± 0,1) см, x₆ = (13,5 ± 0,1) см.

При увеличении в 6 раза удлинение x может принимать значения

6x₁ = (12,0 ± 0,6) см.

В значениях x₆ и 6x₁ нет общих точек. Закон Гука не выполняется.

2 способ. Из уравнения (1) получаем
\[m=\frac{k}{g} \cdot x.\]
Из данного уравнения следует, что зависимость m(x) линейная, а график такой зависимости — прямая линия, проходящая через начало координат.
Отметим на графике экспериментальные точки, и определим, лежат эти точки на одной прямой или нет. График смотрите на рисунке.

Прямую, проходящую через начало координат, можно провезти только через значения первых трех опытов. Следовательно, закон Гука выполняется только в первых трёх опытах.
Примечание. Данный способ требует большой точности построения.

Утверждение № 1 неверное.
Утверждение № 3 верное.

[Александр Сакович]

2) Жёсткость жгута во всех опытах увеличивается с увеличением массы груза.
4) Жёсткость жгута в первых трёх опытах равна 20 Н/м.
5) Жёсткость жгута равна 40 Н/м.
Из уравнения (1) найдем жесткость жгутов:
\[k=\frac{m \cdot g}{x}.\]
Для опыта № 1 масса m₁ = 0,04 кг, удлинение x принимает значения x_min1 = 1,9·10^–2 м до x_max2 = 2,1·10^–2 м. Тогда
\[k_{\min 1}=\frac{0,04 \cdot 10}{2,1 \cdot 10^{-2}} \approx 19,0\ \frac{\text{Н}}{\text{м}},\ \ k_{\max 1}=\frac{0,04 \cdot 10}{1,9 \cdot 10^{-2}} \approx 21,1\ \frac{\text{Н}}{\text{м}}.\]
Для опыта № 2 масса m₂ = 0,08 кг, удлинение x принимает значения x_min2 = 3,8·10^–2 м до x_max2 = 4,0·10^–2 м. Тогда
\[k_{\min 2}=\frac{0,08 \cdot 10}{4,0 \cdot 10^{-2}}=20,0\ \frac{\text{Н}}{\text{м}},\ \ k_{\max 2}=\frac{0,08 \cdot 10}{3,8 \cdot 10^{-2}} \approx 21,1\ \frac{\text{Н}}{\text{м}}.\]
Для опыта № 3 масса m₃ = 0,12 кг, удлинение x принимает значения x_min3 = 6,0·10^–2 м до x_max3 = 6,2·10^–2 м. Тогда
\[k_{\min 3}=\frac{0,12 \cdot 10}{6,2 \cdot 10^{-2}} \approx 19,4\ \frac{\text{Н}}{\text{м}},\ \ k_{\max 3}=\frac{0,12 \cdot 10}{6,0 \cdot 10^{-2}}= 20,0\ \frac{\text{Н}}{\text{м}}.\]
Утверждение № 2 неверное.
Жёсткость жгута 20 Н/м попадает в промежуток значения от k_min до k_max в первых трех опытах.
Утверждение № 4 верное.
Жёсткость жгута 40 Н/м не попадает в промежуток значения от k_min до k_max в первых трех опытах.
Утверждение № 5 неверное.
Ответ: 34.