ЕГЭ 2024. Анализ ошибок. Пример 23

[Александр Сакович]

Пример 23. Два маленьких шарика с одинаковой массой m, расстояние между которыми равно r, притягиваются друг к другу с гравитационными силами, равными по модулю 0,6 пН. Каков модуль сил гравитационного притяжения двух других шариков, если масса одного равна 3m, масса другого — m/3, а расстояние между их центрами — r/2?
Ответ: ____ пН.

Источник: Демидова М.Ю., Грибов В.А. Методические рекомендации для учителей, подготовленные на основе анализа типичных ошибок участников ЕГЭ 2024 года по физике. Москва, 2024.

[Александр Сакович]

Решение. Считаем тела материальными точками, так как шарики маленькие. Тогда сила всемирного тяготения (гравитационная сила притяжения) двух материальных точек равна
\[F=G \cdot \frac{m_1\cdot m_2}{r^2}.\ \ \ (1)\]
Запишем уравнение (1) для двух случаев: 1) для шариков с массой m и расстоянием r; 2) для шариков с массами 3m и m/3, и расстоянием r/2:
\[F_1=G \cdot \frac{m_1 \cdot m_2}{r_1^2},\ \ F_2=G \cdot \frac{m_3 \cdot m_4}{r_2^2},\]
где m₁ = m₂ = m, r₁ = r, m₃ = 3m, m₄ = m/3, r₂ = r/2. Перепишем полученные уравнения с учетом условия
\[F_1=\frac{G \cdot m^2}{r^2},\ \ F_2=G \cdot \frac{3m \cdot \frac{m}{3}}{{\left( \frac{r}{2} \right)}^2}=\frac{G \cdot 4m^2}{r^2}.\]
Решим систему полученных уравнений. Например,
\[\frac{F_2}{F_1}=\frac{G \cdot 4m^2}{r^2} \cdot \frac{r^2}{G \cdot m^2}=4,\ \ F_2=4F_1,\]

F₂ = 2,4 пН.

Ответ: 2,4 пН.