ЕГЭ 2024. Анализ ошибок. Пример 21

[Александр Сакович]

Пример 21. На рис. 1 приведена зависимость концентрации n идеального одноатомного газа от его давления p в процессе 1-2-3. Количество вещества газа постоянно. Постройте график этого процесса в координатах p-V (V — объём газа). Точка, соответствующая состоянию 1, уже отмечена на рис. 2. Построение объясните, опираясь на законы молекулярной физики.

Источники:
1. Демидова М.Ю., Грибов В.А. Методические рекомендации для учителей, подготовленные на основе анализа типичных ошибок участников ЕГЭ 2024 года по физике. Москва, 2024.
2. ЕГЭ 2025. Демоверсия № 21.

[Александр Сакович]

Комментарий ФИПИ. Здесь недостаточно просто построить два участка графика для изотермического и изохорного процессов. Необходимо объяснить все шаги, которые привели к нужному построению. Для изотермического процесса необходимо показать, что концентрация газа обратно пропорциональна его объему: n = N/V, где N — число молекул газа, и что давление прямо пропорционально концентрации, а так как p = n·k·T, то T = const. И лишь после этого применять закон Бойля-Мариотта и определять координату точки 2 на графике. Аналогично и для второго участка: концентрация постоянна, значит, при N = const объем газа не меняется, процесс является изохорным нагреванием, в котором давление увеличивается в 2 раза. Таким образом, в процессе рассуждений обязательно должны присутствовать указания на связь между концентрацией газа и его объемом, на зависимость давления газа от его концентрации и температуры и закон Бойля-Мариотта.

[Александр Сакович]

Решение. 1. Введем масштаб для рисунка 1: 1 клетка — для давления p₀. Тогда

p₁ = 2p₀,  p₂ = 4p₀,  p₃ = 8p₀.

Масштаб для давления p на рисунках 1 и 2 разный — на рисунке 2 масштаб давления p₁ в 2 раза меньше. Введем масштаб для рисунка 2: 1 клетка — для давления p₁, для объема V₀. Тогда

p₁ = p₁,  p₂ = 2p₁,  p₃ = 4p₁,  V₁ = 6V₀.

Концентрация газа связана с объёмом соотношением
\[n=\frac{N}{V}.\ \ \ (1)\]
По условию количество вещества ν, а следовательно, и число молекул газа оставалось постоянным N = const. Поэтому концентрация n будет изменяться при изменении объема газа V и наоборот.
2. Процессу 1-2 соответствует соотношение n = z·p, где z = const. С учетом уравнения (1) получаем
\[\frac{N}{V}=z \cdot p,\ \ p \cdot V=\frac{N}{z}=const —\]
это закон, описывающий изотермический процесс. Тогда
\[p_1 \cdot V_1=p_2 \cdot V_2,\ \ V_2=\frac{p_1 \cdot V_1}{p_2}=\frac{p_1 \cdot 6V_0}{2p_1}=3V_0.\]
Этому процессу на pV-диаграмме соответствует гипербола от точки 1 до точки 2.
3. В процессе 2-3 концентрация n не изменяется. По условию число молекул N газа остается постоянным. Тогда из уравнения (1) получаем, что и объём V не изменяется, т. е. процесс изохорный.
Этому процессу на pV-диаграмме соответствует вертикальная линия от точки 2 до точки 3.
4. График для процессов 1-2-3 изображен на рисунке.