ЕГЭ 2024. Физика. Отличный результат. Электромагнитная индукция 15.22

[Александр Сакович]

15.22 (18.22). Конденсатор колебательного контура длительное время подключён к источнику постоянного напряжения (см. рисунок). В момент времени t = 0 переключатель К переводят из положения 1 в положение 2.

Приведённые ниже графики А и Б представляют изменения физических величин, характеризующих электромагнитные колебания в контуре после этого (T — период колебаний).
Установите соответствие между графиками и физическими величинами, зависимости которых от времени эти графики могут представлять.
К каждой позиции первого столбца подберите соответствующую позицию из второго столбца и запишите в таблицу выбранные цифры под соответствующими буквами.

Ответ: ____.

Источники:
1. ЕГЭ. Физика. Отличный результат / под ред. М. Ю. Демидовой. — Москва: Издательство «Национальное образование», 2022. — 736 с. — (ЕГЭ. ФИПИ — школе).
2. ЕГЭ. Физика. Отличный результат / под ред. М. Ю. Демидовой. — Москва: Издательство «Национальное образование», 2024. — 496 с. — (ЕГЭ. Отличный результат. Учебная книга).

[Александр Сакович]

Анализ условия. 1) Так как в момент времени t = 0 переключатель K переводят из положения 1 в положение 2, то в этот момент времени заряд на левой обкладке конденсатора q > 0 и принимает максимальное значение q_m.
2) За положительное направление тока будет считать направление по часовой стрелке. Ток вначале колебания будет идти от положительной обкладки конденсатора к отрицательной, т.е. направлен в контуре против часовой стрелки. Поэтому вначале направление тока будет отрицательным.

Теория. Так как горизонтальные оси графиков в таблице условия — это оси времени 0t, то определим, как зависят от времени t движения все физические величины из таблицы условия.
1) Так как в момент времени t = 0 заряд на левой обкладке конденсатора q = q_m, то изменение заряда q происходит по закону косинуса. Так как в начале колебания q > 0, то уравнение гармонического колебания заряда на левой обкладке имеет вид
\[q\left( t \right)=q_m\cdot \cos \omega \cdot t.\ \ \ (1)\]
2) Уравнение колебаний силы тока I(t) = (q(t))', где q — это заряд той пластины конденсатора, которая встречается первой при выбранном направлении обхода контура. В данном случае — это заряд левой пластины.
\[I\left( t \right)={{\left( q\left( t \right) \right)}^{\prime }}={{\left( q_m\cdot \cos \omega \cdot t \right)}^{\prime }}=-q_m\cdot \omega \cdot \sin \omega \cdot t.\ \ \ (2)\]
Знак тока I < 0 соответствует анализу условия (см. анализ условия пункт 2).
3) Энергия W_эл электрического поля конденсатора равна
\[W_\text{эл}=\frac{q^2}{2C}.\]
С учетом уравнения (1) получаем
\[W_\text{эл}=\frac{q_{m}^2 \cdot \cos ^2 \omega \cdot t}{2C}.\ \ \ (3)\]
4) Энергия W_магн магнитного поля катушки равна
\[W_\text{маг}=\frac{L\cdot I^2}{2}.\]
С учетом уравнения (2) получаем
\[W_\text{маг}=\frac{L\cdot q_{m}^2 \cdot \omega ^2}{2}\cdot \sin ^2 \omega \cdot t.\ \ \ (4)\]
5) Период колебания контура и его частота равны T и ν соответственно. Так как энергии контура изменяются по законам cos² ω·t или sin² ω·t (см. уравнения (3) и (4)), то период T_энерг и частота ν_энерг изменения энергии груза будут равны
\[T_\text{энерг}=\frac{T}{2},\ \ \nu _\text{энерг}=2\nu .\ \ \ (5)\]

Решение. 1 способ. Определим для каждой физической величины из второго столбца таблицы условия соответствующий ей график из первого столбца таблицы.
1) Сила тока I в катушке.
Уравнение гармонического колебания силы тока I в катушке — это уравнение (2). Его график — синусоида, которая в первой четверти колебаний принимает отрицательные значения, а период равен T.
Этому описанию нет соответствующих графиков.

2) Энергия W_магн магнитного поля катушки.
Уравнение гармонического колебания энергии W_магн магнитного поля катушки — это уравнение (4). Его график — синусоида с удвоенной частотой (см. уравнение (5)), все значения которой только положительные.
Этому описанию соответствует график Б.

3) Энергия W_эл электрического поля конденсатора.
Уравнение гармонического колебания энергии W_эл электрического поля конденсатора — это уравнение (3). Его график — косинусоида с удвоенной частотой (см. уравнение (5)), все значения которой только положительные.
Этому описанию соответствует график А.

4) Заряд q на левой обкладке конденсатора.
Уравнение гармонического колебания заряда q на левой обкладке конденсатора — это уравнение (1). Его график — косинусоида, которая в начале колебаний принимает положительные значения, а период равен T.
Этому описанию нет соответствующих графиков.

2 способ. Определим для каждого графика из первого столбца таблицы условия соответствующую ему физическую величину из второго столбца таблицы.
График А. Это косинусоида с удвоенной частотой, все значения которой только положительные, т.е. изменяются по закону cos² ω·t (см. теорию пункт 5). Такой график соответствует уравнению (3) — уравнению гармонического колебания энергии W_эл электрического поля конденсатора.
Графику соответствует величина № 3.

График Б. Это синусоида с удвоенной частотой, все значения которой только положительные, т.е. изменяются по закону sin² ω·t (см. теорию пункт 5). Такой график соответствует уравнению (4) — уравнению гармонического колебания энергии W_магн магнитного поля катушки.
Графику соответствует величина № 2.
Ответ: А3 Б2 или 32.