ЕГЭ 2022. Анализ ошибок. Пример 31

[Александр Сакович]

Пример 31. На дне кастрюли с водой неподвижно закреплен шарнир малых размеров. К шарниру прикреплен нижним концом тонкий однородный стержень AB постоянного поперечного S = 0,25 см². Он может без трения поворачиваться на шарнире в плоскости рисунка. Толщина слоя воды в кастрюле h = 10 см. В равновесии стержень образует с вертикалью угол α = 30º. Плотность воды ρ₀ = 10³ кг/м³, плотность материала стержня ρ = 600 кг/м³. Найдите величину и направление силы F, с которой стержень в равновесии действует на шарнир. Сделайте рисунок с указанием сил, действующих на стержень AB. Обоснуйте применимость законов, используемых для решения задачи.

Источник. Демидова М.Ю. Методические рекомендации для учителей, подготовленные на основе анализа типичных ошибок участников ЕГЭ 2022 года по физике. — Москва, 2022.

[Александр Сакович]

Рекомендации Демидовой М.Ю.
Обязательными элементами обоснования являются следующие:
- инерциальная система отсчета;
- модель твердого тела;
- применение условия для моментов сил относительно вращения;
- рисунок с указанием сил, действующих на тела;
- направление силы N и взаимосвязь F и N.

Обоснование
1. Выберем систему отсчета, неподвижно связанную с Землей, и будем считать эту систему отсчета инерциальной (ИСО).
2. Стержень будем считать твердым телом с осью вращения, проходящей перпендикулярно плоскости рисунка через точку A. Условия равновесия твердого тела — равенство нулю суммы моментов сил, приложенных к телу, относительно этой оси и равенство нулю суммы сил, приложенных к телу.
3. На стержень действует три силы: сила тяжести m·g, сила Архимеда F_A и сила реакции шарнира N. Силы m·g и F_A направлены вертикально, поэтому из пункта 2 следует, что и сила N направлена вертикально.
4. Силы F и N связаны третьим законом Ньютона: \( \vec{F}=-\vec{N}, \) поэтому сила F тоже направлена по вертикали.

[Александр Сакович]

Решение. Запишем условие равновесия стержня относительно точки А (момент силы N равен 0):
\[M_D+M_E=0.\]
Запишите моменты для каждой силы, определив их плечи и знаки.
Плечо силы F_A равно \( l_1=AD=\frac{h}{2} \cdot tg \alpha  \) (сила F_A приложена к середине погруженной части стержня, т.е. находится на высоте h/2). Данная сила стремится вращать рычаг против часовой стрелки, поэтому
\[M_D=\frac{F_A \cdot h}{2} \cdot tg \alpha .\]
Плечо силы тяжести m·g равно \( l_2=AE=\frac{l}{2} \cdot \sin \alpha  \) (сила m·g приложена к середине стержня длиной l). Данная сила стремится вращать рычаг по часовой стрелке, поэтому
\[M_C=-m \cdot g \cdot \frac{l}{2} \cdot \sin \alpha .\]
Тогда
\[\frac{F_A \cdot h}{2} \cdot tg \alpha -m \cdot g \cdot \frac{l}{2} \cdot \sin \alpha =0,\]
\[F_A \cdot h \cdot tg \alpha -m \cdot g \cdot l \cdot \sin \alpha =0.\ \ \ (1)\]
Сила Архимеда и масса стержня равны
\[F_A=\rho _0 \cdot g \cdot V_{\text{погр}},\ \ m=\rho \cdot V.\]
Объем стержня V и объем погруженной части V_погр найдем следующим образом:
\[V=S \cdot l,\ \ l=AB,\ \ V_{\text{погр}}=S \cdot l_1,\ \ l_1=AC=\frac{h}{\cos \alpha }.\]
Тогда
\[F_A=\rho _0 \cdot g \cdot \frac{S \cdot h}{\cos \alpha },\ \ \ (2)\]
\[m=\rho \cdot S \cdot l.\ \ \ (3)\]
После подстановки в уравнение (1) получаем
\[\rho _0 \cdot g \cdot \frac{S \cdot h^2}{\cos \alpha } \cdot tg \alpha -\rho \cdot S \cdot l^2 \cdot g \cdot \sin \alpha =0,\]
\[\frac{\rho _0 \cdot h^2}{\cos ^2 \alpha }-\rho \cdot l^2 =0.\ \ \ (4)\]
Так как сила F_A > m·g (плечо силы F_A меньше плеча силы m·g), то сила реакции шарнира N будет направлена в ту же сторону, что и сила тяжести m·g, т.е. вниз.
Запишем условие равновесия стержня через силы
\[0=\vec{F}_A+m \cdot \vec{g}+\vec{N},\ \ 0Y:\ \ 0=F_A-m \cdot g-N.\]
С учетом уравнений (2) и (3) получаем
\[N=F_A-m \cdot g=\rho _0 \cdot g \cdot \frac{S \cdot h}{\cos \alpha }-\rho \cdot S \cdot l \cdot g=\left( \frac{\rho _0 \cdot h}{\cos \alpha }-\rho \cdot l \right) \cdot S \cdot g.\ \ \ (5)\]
Решим систему уравнений (4) и (5). Например,
\[l=\sqrt{\frac{\rho _0 \cdot h^2}{\rho \cdot \cos ^2 \alpha }}=\frac{h}{\cos \alpha } \cdot \sqrt{\frac{\rho _0}{\rho }},\]
\[F=N=\left( \frac{\rho _0 \cdot h}{\cos \alpha }-\rho \cdot \frac{h}{\cos \alpha } \cdot \sqrt{\frac{\rho _0}{\rho }} \right) \cdot S \cdot g=\left( \rho _0-\sqrt{\rho _0 \cdot \rho } \right) \cdot \frac{S \cdot g \cdot h}{\cos \alpha },\]

F = 6,507·10^–3 Н = 6,5 мН.