ЕГЭ 2022. Анализ ошибок. Пример 28

[Александр Сакович]

Пример 28. Груз массой M = 800 г соединен невесомой и нерастяжимой нитью, перекинутой через гладкий невесомый блок, с бруском массой m = 400 г. К этому бруску на легкой пружине жесткостью k = 80 Н/м подвешен второй такой же брусок. Длина нерастянутой пружины l = 10 см, коэффициент трения груза о поверхность стола μ = 0,2. Определите длину пружины при движении брусков, считая, что при этом движении она постоянна. Сделайте рисунок с указанием сил, действующих на тела. Обоснуйте применимость законов, используемых для решения задачи.

Источник. Демидова М.Ю. Методические рекомендации для учителей, подготовленные на основе анализа типичных ошибок участников ЕГЭ 2022 года по физике. — Москва, 2022.

[Александр Сакович]

Рекомендации Демидовой М.Ю.
В этом случае обязательными элементами обоснования являются следующие:
- инерциальная система отсчета;
- модель материальной точки;
- условия равенства сил натяжения нитей и равенства упругих сил;
- равенства ускорений тел;
- рисунок с указанием сил, действующих на тела.

Обоснование. 1. Задачу будем решать в инерциальной системе отсчета, связанной с поверхностью стола.
2. Будем применять для грузов и бруска законы Ньютона, справедливые для материальных точек, поскольку тела движутся поступательно.
3. Трением в оси блока и трением о воздух, а также массой блока пренебрежем.
4. Так как нить нерастяжима и длина пружины постоянна, ускорения обоих брусков и груза равны по модулю: |a₁| = |a₂| = |a₃| = a.
5. На рисунке показаны силы, действующие на бруски и груз.
6. Так как блок и нити невесомы, а трение отсутствует, то модули сил натяжения нити, действующих на груз и верхний брусок, одинаковы: |T₁| = |T₂| = T.
7. Равны по модулю и силы |F_упр2| = |F_упр3|, так как пружина легкая.

[Александр Сакович]

Решение. Запишем второй закон Ньютона для каждого тела
\[M \cdot \vec{a}=\vec{T}+M \cdot \vec{g}+\vec{N}+\vec{F}_{\text{тр}},\ \ m \cdot \vec{a}= \vec{T}+m \cdot \vec{g}+\vec{F}_{\text{упр}},\]
\[m \cdot \vec{a}=m \cdot \vec{g}+\vec{F}_{\text{упр}},\]
\[0X:\ \ M \cdot a=T-F_{\text{тр}},\ \ 0Y:\ \ 0=M \cdot g-N,\ \ N=M \cdot g,\]
\[m \cdot a=-T+m \cdot g+F_{\text{упр}},\ \ m \cdot a=m \cdot g-F_{\text{упр}},\]
где \( F_{\text{тр}}= \mu \cdot N= \mu \cdot M \cdot g,\ \ F_{\text{упр}}=k \cdot x. \) Решим систему полученных уравнений и найдем x. Например,
\[\left( M+2m \right) \cdot a=T-F_{\text{тр}}+\left( -T \right)+m \cdot g+F_{\text{упр}}+m \cdot g-F_{\text{упр}}=2m \cdot g-F_{\text{тр}},\]
\[a=\frac{2m \cdot g-F_{\text{тр}}}{M+2m}=\frac{\left( 2m-\mu \cdot M \right) \cdot g}{M+2m},\]
\[F_{\text{упр}}=m \cdot \left( g-a \right)=m \cdot \left( g-\frac{\left( 2m-\mu \cdot M \right) \cdot g}{M+2m} \right)=\]
\[=m \cdot g \cdot \frac{M+2m-\left( 2m-\mu \cdot M \right)}{M+2m}=m \cdot g \cdot M \cdot \frac{1+\mu }{M+2m},\]
\[x=\frac{F_{\text{упр}}}{k}=\frac{m \cdot g \cdot M \cdot \left( 1+\mu \right)}{k \cdot \left( M+2m \right)},\]
\[L=l+x=l+\frac{m \cdot g \cdot M \cdot \left( 1+\mu \right)}{k \cdot \left( M+2m \right)},\]

L = 0,13 м.