ЕГЭ 2022. Анализ ошибок. Пример 23

[Александр Сакович]

Пример 23. Два одинаковых бруска массой M = 500 г связаны между собой невесомой нерастяжимой нитью, перекинутой через невесомый гладкий блок, неподвижно закреплённый на потолке (см. рисунок). На один из брусков кладут груз массой m = 100 г, и система приходит в движение. С какой силой F груз будет давить на брусок? Сделайте схематический рисунок с указанием сил, действующих на бруски и груз. Обоснуйте применимость законов, используемых для решения задачи.

В задачах линии 30 (средний процент выполнения составил 16,3) наиболее успешно выполнены задания на движение связанных тел (одно тело вертикально, а связанное в ним через блок — по горизонтальной поверхности) — 24%, а самой сложной оказалась задача с блоками — 5,3%.

Источник. Демидова М.Ю. Методические рекомендации для учителей, подготовленные на основе анализа типичных ошибок участников ЕГЭ 2022 года по физике. — Москва, 2022.

[Александр Сакович]

Рекомендации Демидовой М.Ю.
В обосновании возможности использования законов в этих задачах необходимо было указать следующее:
- выбор инерциальной системы отсчета;
- использование модели материальной точки (для случаев связанных тел — поступательное движение тел и возможность использовать второй закон Ньютона в привычной форме);
- рисунок с указанием сил, действующих на тела, с соответствующими обозначениями сил, которые затем используются при записи системы уравнений;
- условие равенства сил натяжения нитей (блок и нити невесомы, а трение отсутствует);
- условие равенства модулей ускорений тел (нить нерастяжима).
Несмотря на то что в задачах на связанные тела уже была описана идеализированная ситуация, т.е. указывалось на то, что блок и нить невесомы и нить нерастяжима, лишь 12% экзаменуемых смогли справиться с обоснованием и получили по данному критерию 1 балл.
Ниже всего оказались результаты в задаче, где два тела были связаны легкой пружиной, длина которой при движении оставалась постоянной. Постоянство длины пружины необходимо было учесть в условии равенства ускорений тел, а также указать на равенство сил упругости, действующих на оба тела, поскольку пружина легкая.
Типичной была ситуация, когда экзаменуемые, не понимая до конца причинно-следственные связи, объединяли два условия в одном предложении: блок идеальный, нить невесома и нерастяжима, следовательно, силы натяжения нити равны и ускорение тел одинаково. Такие фрагменты обоснований в качестве верных не принимались.

[Александр Сакович]

Решение. На левый брусок действуют сила тяжести M∙g и сила натяжения нити Т₁; на правый брусок с грузом действуют сила тяжести двух тел (M + m)∙g и сила натяжения нити Т₂. Так как масса тел справа больше массы тела слева, то ускорение левого тела направлено вверх, ускорение правых тел — вниз. Ось 0Y направим вверх (см. рисунок 1).
Запишем второй закон Ньютона для правых и левых тел:
\[M \cdot \vec{a}_1= \vec{T}_1+M \cdot \vec{g},\ \ \left( M+m \right) \cdot \vec{a}_2=\vec{T}_2+\left( M+m \right) \cdot \vec{g},\]
\[0Y:\ \ M \cdot a_1=T_1-M \cdot g,\ \ -\left( M+m \right) \cdot a_2= T_2-\left( M+m \right) \cdot g.\]
где Т₁ = Т₂ = Т, так как блок и нити невесомы, а трение отсутствует; а₁ = а₂ = а, так как тела связаны нерастяжимой нитью. Решим полученную систему уравнений. Например,
\[M \cdot a=T-M \cdot g,\ \ -\left( M+m \right) \cdot a=T-\left( M+m \right) \cdot g,\]
\[M \cdot a+\left( M+m \right) \cdot a=T-M \cdot g-\left( T-\left( M+m \right) \cdot g \right),\]
\[\left( 2M+m \right) \cdot a=m \cdot g,\ \ a=\frac{m \cdot g}{2M+m}.\ \ \ (1)\]
На груз действуют сила тяжести m∙g и сила реакции опоры N. Ось 0Y направим вверх (см. рисунок 2).
Запишем второй закон Ньютона груза:
\[m \cdot \vec{a}=\vec{N}+m \cdot \vec{g},\ \ 0Y:\ \ -m \cdot a=N-m \cdot g.\]
По третьему закону Ньютона, с какой силой N брусок действует на груз, с такой же силой F груз будет давить на брусок. Тогда с учетом уравнения (1) получаем
\[F=N=m \cdot \left( g-a \right)=m \cdot \left( g-\frac{m \cdot g}{2M+m} \right)=m \cdot \frac{2M \cdot g+m \cdot g-m \cdot g}{2M+m}=\frac{2M \cdot m \cdot g}{2M+m},\]

F = 0,91 Н.