ЕГЭ 2022. Анализ ошибок. Пример 20

[Александр Сакович]

Пример 20. В открытой пробирке, вращающейся в горизонтальной плоскости с угловой скоростью 10 с^–1 вокруг вертикальной оси, проходящей через край пробирки, находится столбик ртути длиной h = 1 см, центр которого отстоит от оси вращения на расстояние r = 20 см. До какой температуры T₂ надо нагреть пробирку, чтобы при увеличении угловой скорости в 4 раза столбик ртути не сместился? Начальная температура t₁ = 0 ºС, а внешнее атмосферное давление p₀ = 10⁵ Па.

Лишь 4% участников экзамена смогли верно записать необходимые уравнения: второй закон Ньютона для двух случаев, формулы для центростремительного ускорения, связи силы давления и давления газа, формула связи массы и плотности, уравнение Клапейрона-Менделеева для двух случаев. Здесь основная трудность — совместное использование законов механики и молекулярной физики.

Источник. Демидова М.Ю. Методические рекомендации для учителей, подготовленные на основе анализа типичных ошибок участников ЕГЭ 2022 года по физике. — Москва, 2022.

[Александр Сакович]

Решение. На столбик ртути по горизонтали действуют сила атмосферного давления F₁ и сила давления воздуха F₂ между ртутью и дном пробирки. Так как пробирка вращается, то центростремительное ускорение a направлено к центру вращения (см. рисунок). Ось 0X направим по ускорению.
Запишем проекцию второго закона Ньютона на ось 0X для столбика ртути
\[m \cdot a=F_1-F_0,\]
где \( m=\rho \cdot V=\rho \cdot S \cdot h \) — масса ртути, a = ω²·r, ρ = 13600 кг/м³ — плотность ртути (см. справочные данные таблицу «Плотность»), S — площадь поперечного сечения пробирки, F₀ = p₀·S, F₁ = p₁·S, p₀ = 10⁵ Па — атмосферное давление, p₁ — давление воздуха в пробирке. Тогда
\[\rho \cdot S \cdot h \cdot \omega ^2 \cdot r=p_1 \cdot S-p_0 \cdot S,\]
\[rho \cdot h \cdot \omega^2 \cdot r= p_1-p_0.\;\;\;(1)\]
При увеличении угловой скорости в 4 раза, т.е. ω₂ = 4ω, и нагревании пробирки давление воздуха в пробирке изменится и станет равным p₂. В этом случае уравнение (1) примет вид
\[\rho \cdot h \cdot \omega _2^2 \cdot r= 16 \cdot \rho \cdot h \cdot \omega ^2 \cdot r= p_2-p_0.\;\;\;(2)\]
Так как столбик ртути, по условию, не смещается, то объем V воздуха в пробирке не изменяется при увеличении скорости вращения. Тогда для воздуха можно записать уравнение для изохорного процесса
\[\frac{p_1}{T_1}=\frac{p_2}{T_2},\;\;\;(3)\]
где T₁ = 273 К. Решим систему уравнений (1)-(3). Например,
\[p_1=\rho \cdot h \cdot \omega ^2 \cdot r+p_0,\ \ p_2=16 \cdot \rho \cdot h \cdot \omega ^2 \cdot r+p_0,\]
\[T_2=\frac{p_2}{p_1} \cdot T_1=\frac{16 \cdot \rho \cdot h \cdot \omega ^2 \cdot r+p_0}{\rho \cdot h \cdot \omega ^2 \cdot r+p_0} \cdot T_1,\]

T₂ = 381 К.

Ответ: 381 К.