ЕГЭ 2024. Физика. Отличный результат. Статика 22.2

[Александр Сакович]

22.2 (25.2). Стержень, находящийся в ящике с гладкими дном и стенками, составляет угол 45° с вертикалью (см. рисунок). К середине стержня подвешен на нити шар массой 3 кг. Каков модуль горизонтальной составляющей силы упругости N, действующей на нижний конец стержня со стороны ящика? Массой стержня пренебречь.

Ответ: ____ Н.

Источники:
1. ЕГЭ. Физика. Отличный результат / под ред. М. Ю. Демидовой. — Москва: Издательство «Национальное образование», 2022. — 736 с. — (ЕГЭ. ФИПИ — школе).
2. ЕГЭ. Физика. Отличный результат / под ред. М. Ю. Демидовой. — Москва: Издательство «Национальное образование», 2024. — 496 с. — (ЕГЭ. Отличный результат. Учебная книга).

[Александр Сакович]

Решение. На стержень действуют сила тяжести шара m·g, силы реакций левой стены ящика N₁ и правой стены N, сила реакции дна ящика N₃ (рис. ). Так как стенки и дно гладкие, то сила трения равна нулю.
Пусть l — длина стержня, АВ = BC = l/2.

Рассмотрим условие равновесия трубы относительно точки A.
Момент силы реакции опоры N₁ будет равен нулю, т.к. линия действия этой силы проходит через точку A.

Плечо силы тяжести m·g равно \( OE=\frac{l}{2} \cdot \sin \alpha . \) Данная сила стремится вращать рычаг относительно точки A по часовой стрелке, поэтому М₁ < 0 и
\[M_1=-m \cdot g \cdot \frac{l}{2} \cdot \sin \alpha .\]
Плечо силы реакции опоры N равно \( AO=l \cdot \cos \alpha . \) Данная сила стремится вращать рычаг относительно точки A по часовой стрелке, поэтому М₂ < 0 и
\[M_2=-N \cdot l \cdot \cos \alpha .\]
Плечо силы реакции опоры N₃ равно \( OC=l \cdot \sin \alpha . \) Данная сила стремится вращать рычаг относительно точки A против часовой стрелки, поэтому М₃ > 0 и
\[M_3=N_3 \cdot l \cdot \sin \alpha .\]
Запишем условие равновесия тела без закрепленной оси вращения с учетом знаков:
\[M_1+M_2+M_3=0,\]
\[-m \cdot g \cdot \frac{l}{2} \cdot \sin \alpha -N \cdot l \cdot \cos \alpha +N_3 \cdot l \cdot \sin \alpha =0.\]
Тогда
\[-m \cdot g \cdot \sin \alpha -2N \cdot \cos \alpha +2N_3 \cdot \sin \alpha =0.\ \ \ (1)\]
Для составления следующего уравнения учтем, что векторная сумма всех сил, приложенных к телу, равна нулю:
\[\vec{N}_1+\vec{N}+\vec{N}_3+m \cdot \vec{g}=0.\]
Оси 0Y направим вверх (см. рисунок). Тогда
\[0Y:\ N_3-m \cdot g=0,\ \ N_3=m \cdot g.\ \ \ (2)\]
Решим систему уравнений (1) и (2). Например,
\[-m \cdot g \cdot \sin \alpha -2N \cdot \cos \alpha +2m \cdot g \cdot \sin \alpha =0,\ \ N=\frac{m \cdot g \cdot tg \alpha }{2},\]

N = 15 Н.