Демоверсия 2022. Задача 8

[Александр Сакович]

8. Один конец лёгкой пружины жёсткостью k прикреплен к бруску, а другой закреплён неподвижно. Брусок скользит по горизонтальной направляющей так, что координата его центра масс изменяется со временем по закону x(t) = A·sin ω·t.
Установите соответствие между физическими величинами, характеризующими движение бруска, и формулами, выражающими их изменения во времени.
К каждой позиции первого столбца подберите соответствующую позицию из второго столбца и запишите в таблицу выбранные цифры под соответствующими буквами.

[Александр Сакович]

Решение. А) Кинетическая энергия бруска равна
\[ E_k\left( t \right)=\frac{m \cdot \upsilon^2}{2}, \]
где скорость тела υ найдем как первую производную от x (и учтем, что тело скользит вдоль оси 0Х)
\[ \upsilon =\upsilon_x= {x}'_t ={{\left( A\cdot \sin \omega \cdot t \right)}^{\prime }}=A\cdot \omega \cdot \cos \omega \cdot t. \]
Тогда
\[ E_k\left( t \right)=\frac{m}{2}\cdot {{\left( A\cdot \omega \cdot \cos \omega \cdot t \right)}^{2}}=\frac{m\cdot {{A}^{2}}\cdot {{\omega }^{2}}}{2}\cdot {{\cos }^{2}}\omega \cdot t, \]
где квадрат циклической частоты ω² можно найти через период колебаний пружинного маятника (брусок на легкой пружине)
\[ T=2\pi \cdot \sqrt{\frac{m}{k}},\ \ \omega =\frac{2\pi }{T}=\frac{2\pi }{2\pi }\cdot \sqrt{\frac{k}{m}}=\sqrt{\frac{k}{m}},\ \ {{\omega }^{2}}=\frac{k}{m}. \]
Тогда
\[ E_k\left( t \right)=\frac{m\cdot {{A}^{2}}}{2}\cdot \frac{k}{m}\cdot {{\cos }^{2}}\omega \cdot t=\frac{k\cdot {{A}^{2}}}{2}\cdot {{\cos }^{2}}\omega \cdot t.\;\;\;(1) \]
Уравнение (1) соответствует формуле № 2.
Б) Проекция ускорения бруска равна второй производной от x:
\[ a_x \left( t \right) = {x}''_t = {\upsilon}'_t ={{\left( A\cdot \omega \cdot \cos \omega \cdot t \right)}^{\prime }}=-A\cdot \omega^2 \cdot \sin \omega \cdot t.\;\;\;(2) \]
Уравнение (2) соответствует формуле № 3.
Ответ: 23.

[Александр Сакович]