ЕГЭ 2024. Анализ ошибок. Пример 1

[Александр Сакович]

Пример 1. Груз, подвешенный на лёгкой пружине жёсткостью 50 Н/м, совершает свободные вертикальные гармонические колебания. Пружину какой жёсткости надо взять вместо этой пружины, чтобы период свободных вертикальных колебаний этого груза стал в 2 раза меньше?
Ответ: ______ Н/м.

Источник: Демидова М.Ю., Грибов В.А. Методические рекомендации для учителей, подготовленные на основе анализа типичных ошибок участников ЕГЭ 2024 года по физике. Москва, 2024.

[Александр Сакович]

Комментарий ФИПИ. Средний процент выполнения – 58
Анализ веера ответов показывает, что проблема не в математике, как это было ранее, а именно в незнании формулы для периода колебаний пружинного маятника:
\[T=2\pi \cdot \sqrt{\frac{m}{k}}.\]
Так, 21 % участников экзамена указали ответ 100, т.е. помнят, что при увеличении жесткости пружины период уменьшается, но забыли про квадратный корень. Еще 17 % участников указали ответы 25 и 12,5, считая, что уменьшение жесткости приведет к уменьшению периода колебаний. Во всех случаях прослеживаются ошибки в знании исходной формулы.

[Александр Сакович]

Решение. Период колебаний пружинного маятника равен
\[T=2\pi \cdot \sqrt{\frac{m}{k}}.\ \ \ (1)\]
Запишем уравнение (1) для маятников с пружинами жесткости k₁ и k₂ (масса груза m, по умолчанию, не изменяется):
\[T_1=2\pi \cdot \sqrt{\frac{m}{k_1}},\ \ T_2=2\pi \cdot \sqrt{\frac{m}{k_2}},\]
где T₁ = 2T₂ (так как период свободных вертикальных колебаний этого груза стал в 2 раза меньше). Решим систему полученных уравнений. Например,
\[\frac{T_1}{T_2}=\frac{2\pi \cdot \sqrt{\frac{m}{k_1}}}{2\pi \cdot \sqrt{\frac{m}{k_2}}}=\sqrt{\frac{k_2}{k_1}}=2,\]
\[k_2=4k_1,\ \ k_2=4\cdot 50=200\ \text{Н/м}.\]
Ответ: 200 Н/м.