ЕГЭ 2022. Анализ ошибок. Пример 26

[Александр Сакович]

Пример 26. Тележка массой 0,5 кг, прикрепленная к горизонтальной пружине жёсткостью 200 Н/м, совершает свободные гармонические колебания (см. рисунок). Максимальная скорость тележки равна 3 м/с. Какова амплитуда колебаний тележки? Массой колёс пренебречь.

Источник. Демидова М.Ю. Методические рекомендации для учителей, подготовленные на основе анализа типичных ошибок участников ЕГЭ 2022 года по физике. — Москва, 2022.

[Александр Сакович]

Решение. Пусть первый момент времени — этот момент, когда тележка находится на максимальном смещении от положения равновесия. Второй момент времени — этот момент, когда тележка обладает максимальной скоростью, т.е. в положении равновесия.
Сделаем схематический чертеж. За нулевую высоту примем высоту, на которой находится тележка (см. рисунок).
Полная механическая энергия тела в первый момент времени
\[W_{\text{мех}1}=W_{p1}+W_{k1}=W_{p1\ \max }=\frac{k \cdot x_{\max }^2}{2},\]
где W_k1 = 0 Дж, т.к. υ₁ = 0 м/с (следовательно, в этот момент потенциальная энергия достигает максимального значения).

Полная механическая энергия тела во второй момент времени
\[W_{\text{мех}2}=W_{p2}+W_{k2}=W_{k2\ \max }=\frac{m \cdot \upsilon _{\max }^2}{2},\]
где W_p2 = 0 Дж, т.к. x₂ = 0 м (следовательно, в этот момент кинетическая энергия достигает максимального значения). Запишем закон сохранения энергии и решим полученное уравнение
\[W_{\text{мех}1}=W_{\text{мех}2},\ \ \frac{k \cdot x_{\max }^2}{2}=\frac{m \cdot \upsilon _{\max }^2}{2},\ \ x_{\max }=\upsilon _{\max } \cdot \sqrt{\frac{m}{k}},\]

x_max = 0,15 м.