Пример 16.
Столкнулись два одинаковых пластилиновых шарика, движущихся по гладкой горизонтальной поверхности, причём векторы их скоростей непосредственно перед столкновением были взаимно перпендикулярны и вдвое различались по модулю: υ₁ = 2υ₂. Какова скорость шариков после абсолютно неупругого столкновения, если перед столкновением скорость более быстрого шарика была равна по модулю 2 м/с?

Источник:
1. Демидова М.Ю., Грибов В.А. Методические рекомендации для учителей, подготовленные на основе анализа типичных ошибок участников ЕГЭ 2025 года по физике. Москва, 2025.

Информация ФИПИ. Обязательным элементом решения этой задачи была запись закона сохранения импульса в векторной форме при абсолютно неупругом столкновении
\[m\cdot \vec{\upsilon }_1+m\cdot \vec{\upsilon }_2=2m\cdot \vec{u},\]
где u — скорость шариков после столкновения. И только после этого, поскольку векторы импульсов шариков перед соударением были взаимно перпендикулярны, нужно было записать соотношение
\[{{\left( m\cdot \upsilon _1 \right)}^2}+{{\left( m\cdot \upsilon _2 \right)}^2}= {{\left( 2m\cdot u \right)}^2}.\]
К сожалению, полностью выполнить требования к решению этой задачи смогли лишь 14 % участников экзамена.

Решение. Импульсы систему тел изменяются из-за их столкновения. До удара двигались тела отдельно друг от друга. После абсолютно неупругого удара тела двигались вместе.
Сделаем схематический чертеж. Пусть скорость υ₁ первого шарика до столкновения будет направлена вправо, а скорость υ₂ второго шарика — вниз (вид сверху). Направление скорости υ шариков после столкновения неизвестно. Оси 0X и 0Y направим так, как показано на рисунке 1.


Все тела будем считать материальными точками, так как они движутся поступательно.
Так как по условию шарики одинаковые, то их массы равны m₁ = m₂ = m.
До взаимодействия в системе двигались два тела раздельно, поэтому начальный импульс системы тел равен
\[\vec{p}_0=m\cdot \vec{\upsilon }_1+m\cdot \vec{\upsilon }_2.\ \ \ (1)\]
После взаимодействия в системе два тела двигались вместе. Тогда можем считать их как одно тело с массой 2m и скоростью υ, а конечный импульс системы тел равен
\[\vec{p}=2m\cdot \vec{\upsilon }.\ \ \ (2)\]
Задачу будем решать в инерциальной системе отсчета, связанной с поверхностью Земли. Для системы тел «два шарика» равнодействующие внешних сил равны нулю (силы тяжести m·g скомпенсированы силами реакции опоры N). Тогда для данной системы материальных точек в ИСО можем записать закон сохранения импульса в векторном виде:
\[\vec{p}_0=\vec{p}.\]
С учетом уравнений (1) и (2) получаем
\[m\cdot \vec{\upsilon }_1+m \cdot \vec{\upsilon }_2=2m\cdot \vec{\upsilon }.\ \ \ (3)\]
По условию υ₁ = 2υ₂, υ₁ = 2 м/с (более быстрый шарик). Тогда
\[\upsilon _2=\frac{\upsilon _1}{2}=\frac{2}{2}=1\ \text{м/с}.\]
1 способ (через проекции). Так как тела движутся не вдоль одной прямой, то необходимо выбрать двухмерную систему координат, и тогда скорость шариков после столкновения будет равна
\[\upsilon =\sqrt{\upsilon _x^2+\upsilon _y^2}.\ \ \ (4)\]
Запишем уравнение (3) в проекциях на оси координат (см. рисунок):
\[0X:\ m\cdot \upsilon _1=2m\cdot \upsilon _x,\ \ \upsilon _x=\frac{\upsilon _1}{2},\]
\[0Y:\ m\cdot \upsilon _2=2m\cdot \upsilon _y,\ \ \upsilon _y=\frac{\upsilon _2}{2}.\]
Подставим полученные уравнения в уравнение (4) и учтем, что υ₁ = 2 м/с, υ₂ = 1 м/с:
\[\upsilon =\sqrt{\frac{\upsilon _1^2}{4}+\frac{\upsilon _2^2}{4}}=\sqrt{\frac{\upsilon _1^2+\upsilon _2^2}{4}},\ \ \upsilon =\sqrt{\frac{2^2+1^2}{4}}\approx 1,12\ \text{м/с}.\]
2 способ (векторный). Построим треугольник импульсов по уравнению (3) (см. рисунок 2).


Данный треугольник прямоугольный, в котором импульс 2m·υ является гипотенузой, а импульсы m·υ₁ и m·υ₂ — катеты. Тогда по теореме Пифагора получаем
\[2m\cdot \upsilon =\sqrt{{\left( m\cdot \upsilon _1 \right)}^2+{\left( m\cdot \upsilon _2 \right)}^2},\ \ \upsilon =\frac{\sqrt{\upsilon _1^2+\upsilon _2^2}}{2},\]
\[\upsilon =\frac{\sqrt{2^2+1^2}}{2}\approx 1,12\ \text{м/с}.\]
Ответ: 1,12 м/с.