ЕГЭ 2024. Физика. Отличный результат. Кинематика. Контроль 2.8

[Александр Сакович]

К2.8. Две шестерни, сцепленные друг с другом, вращаются вокруг неподвижных осей. Маленькая шестерня радиусом 10 см делает 50 оборотов за 10 с, а частота обращения большой шестерни равна 2 с^-1. Каков радиус большой шестерни?
Ответ: ____ см.

Источники:
1. ЕГЭ. Физика. Отличный результат / под ред. М. Ю. Демидовой. — Москва: Издательство «Национальное образование», 2022. — 736 с. — (ЕГЭ. ФИПИ — школе).
2. ЕГЭ. Физика. Отличный результат / под ред. М. Ю. Демидовой. — Москва: Издательство «Национальное образование», 2024. — 496 с. — (ЕГЭ. Отличный результат. Учебная книга).

[Александр Сакович]

Решение. Две сцепленные шестерни на поверхности будут иметь равные линейные скорости υ₁ и υ₂:
\[\upsilon _1 = \upsilon _2.\ \ \ (1)\]
По условию задана частота вращения большой шестерни ν₁ = 2 с^-1. Так же можно найти частоту ν₂ вращения маленькой шестерни:
\[\nu _2 = \frac{N_2}{t_2},\]
где N₂ = 50, t₂ = 10 с. Тогда
\[\nu _2 = \frac{50}{10} = 5\ \text{c}^{-1}.\]
Зная частоту вращения ν, найдем угловую скорость ω вращения
\[\omega = 2\pi \cdot \nu .\]
Тогда линейная υ скорость будет равна
\[\upsilon = \omega \cdot R = 2\pi \cdot \nu \cdot R.\]
Запишем полученное уравнение для двух шестерён:
\[\upsilon _1 = 2\pi \cdot \nu _1 \cdot R_1,\ \ \upsilon _2 = 2\pi \cdot \nu _2 \cdot R_2.\]
С учетом равенства (1) получаем
\[2\pi \cdot \nu _1 \cdot R_1 = 2\pi \cdot \nu _2 \cdot R_2,\ \ R_1 = \frac{\nu _2 \cdot R_2}{\nu _1},\]
\[R_1 = \frac{5 \cdot 10}{2} = 25\ \text{см}.\]
Ответ: 25 см.