3.40. Материальная точка движется по окружности радиусом R с частотой обращения ν. Во сколько раз нужно уменьшить частоту обращения, чтобы при увеличении радиуса окружности в 4 раза центростремительное ускорение точки осталось прежним?
Ответ: в _____ раз(а).

Источник. ЕГЭ. Физика. Отличный результат / под ред. М. Ю. Демидовой. — Москва: Издательство «Национальное образование», 2022. — 736 с. — (ЕГЭ. ФИПИ — школе).

Решение. При движении по окружности центростремительное ускорение и угловая скорость связаны соотношением a = ω₂·R, где ω = 2π·ν. Тогда
\[a=4 \pi ^{2} \cdot \nu ^2 \cdot R,\; \; \nu =\sqrt{\frac{a}{4 \pi ^2 \cdot R} } =\frac{1}{2\pi } \cdot \sqrt{\frac{a}{R} } .\; \; \; (1)\]
Запишем уравнение (1) для точки 1, которая движется по окружности радиусом R₁, и для точки 2, которая движется по окружности радиусом R₂:
\[\nu _1 =\frac{1}{2\pi } \cdot \sqrt{\frac{a_1}{R_1} } ,\; \; \nu _2 =\frac{1}{2\pi } \cdot \sqrt{\frac{a_2}{R_2} } ,\]
где по условию R₂ = 4R₁ (при увеличении радиуса в 4 раза), а₁ = а₂ (ускорение точки осталось прежним). Тогда
\[\frac{\nu _1}{\nu _2} =\frac{1}{2\pi } \cdot \sqrt{\frac{a_1}{R_1} } \cdot 2\pi \cdot \sqrt{\frac{R_2}{a_2} } =\sqrt{\frac{R_2}{R_1} } =\sqrt{\frac{4R_1 }{R_1}} =2.\]
Нужно уменьшить частоту обращения в 2 раза.
Ответ: в 2 раз(а).