12. Сосуд разделён на две равные по объёму части пористой неподвижной перегородкой. Перегородка может пропускать атомы гелия и является непроницаемой для атомов аргона. В начале в левой части сосуда содержится 8 г гелия, а в правой — 1 моль аргона. Температура газов одинакова и остаётся постоянной. Выберите все верные утверждения, описывающие состояние газов после установления равновесия в системе. Запишите цифры, под которыми они указаны.
1) Внутренняя энергия гелия в сосуде больше, чем внутренняя энергия аргона.
2) Концентрация гелия и аргона в правой части сосуда одинакова.
3) В правой части сосуда общее число молекул газов в 2 раза меньше, чем в левой части.
4) Внутренняя энергия гелия в сосуде в конечном состоянии больше, чем в начальном.
5) Давление в обеих частях сосуда одинаково.
Ответ: _____.

Решение. Пусть V₁ и V₂ — это объемы частей сосуда, по условию V₁ = V₂ = V (две равные части); p₁₀ и p₂₀ — это начальные парциальные давления гелия и аргона соответственно; p₁ и p₂ — это конечные парциальные давления гелия и аргона; T₁ и T₂ — температуры гелия и аргона, по условию Т₁ = Т₂ = T = const; ν₁ и ν₂ — это количества вещества гелия и аргона в сосуде.
Определим, что будет с газами через некоторое время.
Так как перегородка проницаема для гелия, то часть гелия будет переходить во вторую часть сосуда до тех пор, пока парциальные давления гелия с двух сторон перегородки не станут одинаковыми и равными p₁. Температура гелия при расширении не поменялась, объем стал в два раза больше (V₁ + V₂ = 2V). Тогда из уравнения для изотермического процесса получаем
\[ {p_{10}}\cdot V={p_1}\cdot 2V,\ \ {p_1}=\frac{p_{10}}{2}. \]
Так как перегородка непроницаема для аргона, то он остается во второй части аргона и его параметры не меняются, т.е. p₂ = p₂₀ (рис.).

Проверим утверждения.
Утверждение 1. Гелий и аргон — это одноатомные газ, поэтому их внутренние энергии во всем сосуде равны соответственно
\[ {U_1}=\frac{3}{2}\cdot {\nu_1}\cdot R\cdot T,\ \ {U_2}=\frac{3}{2}\cdot {\nu_2}\cdot R\cdot T,\;\;\;(1) \]
где \( {\nu_1}=\frac{m_1}{M_1}, \) m₁ = 8·10^–3 кг, M₁ = 4·10^–3 кг/моль (см. таблицу «Молярная масса» в инструкции по выполнению теста), ν₂ = 1 моль. После подстановки чисел получаем, что ν₁ = 2 моль.
Так как ν₁ > ν₂, а температуры газов равны, то из уравнений (1) следует, что U₁ > U₂. Следовательно, утверждение № 1 верное.

Утверждение 2. Концентрацию молекул найдем через давление
\[ p=n\cdot k\cdot T,\ \ n=\frac{p}{k\cdot T}, \]
\[ {n_1}=\frac{p_1}{k\cdot T},\ \ {n_2}=\frac{p_2}{k\cdot T},\;\;\;(2) \]
где давления газов p найдем из уравнения Клапейрона-Менделеева. Для аргона
\[ {p_2}={p_{02}}={\nu_2}\cdot R\cdot T. \]
Для гелия
\[ {p_1}=\frac{p_{10}}{2}=\frac{1}{2}\cdot {\nu_1}\cdot R\cdot T, \]
где ν₁ = 2 моль (см. пункт 1 решения). Тогда из уравнения (2) получаем
\[ \frac{n_1}{n_2}=\frac{p_1}{k\cdot T}\cdot \frac{k\cdot T}{p_2}=\frac{p_1}{p_2}=\frac{\frac{1}{2}\cdot {\nu_1}\cdot R\cdot T}{{\nu_2}\cdot R\cdot T}=\frac{{\nu_1}}{2{\nu_2}}=\frac{2}{2\cdot 1}=1. \]
Утверждение № 2 верное.
Примечание. Можно было решать и через формулу n= N/V, где
\[ \nu =\frac{N}{N_A},\ \ N=\nu \cdot {N_A}. \]

Утверждение 3. Из уравнений для давления и концентрации получаем
\[ p=n\cdot k\cdot T,\ \ n=\frac{N}{V},\ \ p=\frac{N}{V}\cdot k\cdot T,\ \ N=\frac{p\cdot V}{k\cdot T} \]
\[ {N_1}=\frac{{p_1}\cdot V}{k\cdot T},\ \ {N_2}=\frac{{p_2}\cdot V}{k\cdot T}.\;\;\;(3) \]
В левой и правой частях сосуда гелий находится под одинаковым давлением p₁, следовательно, число молекул гелия слева и справа одинаковое (см. формулу (3)). Но справа есть еще аргон, поэтому общее число молекул справа будет больше. Следовательно, утверждение № 3 неверное.

Утверждение 4. Внутренняя энергия гелия в сосуде (см. формулу (1)) зависит от количества вещества ν₁ гелия и его температуры T. Так эти величины не меняются, то и внутренняя энергия гелия меняться не будет.
Следовательно, утверждение № 4 неверное.

Утверждение 5. Не совсем понятно, про какое давление идет речь: в начальный момент времени или в конечный.
В начальный момент времени давления газов будут равны
\[ {p_{10}}={\nu_1}\cdot R\cdot T,\ \ {p_{02}}={\nu_2}\cdot R\cdot T. \]
Так как ν₁ > ν₂ (см. пункт 1 решения), то
В конечный момент времени давление слева p_л = p₁, давление справа (по закону Дальтона) p_пр = p₁ + p₂. Получаем, что
Следовательно, утверждение № 5 неверное для любого момента времени.
Ответ: 12.