Пример 4. Во сколько раз уменьшится частота малых свободных колебаний математического маятника, если длину нити увеличить в 9 раз, а массу груза уменьшить в 4 раза?
Ответ: в ____ раз(а).

Средний процент выполнения — 44
Среди заданий на колебания сложной оказалась группа заданий на изменение периода или частоты колебаний математического маятника, в которых кроме длины нити изменяли ещё и массу груза. Две трети экзаменуемых не знали о независимости частоты колебаний от массы груза и пытались получить ответ, комбинируя формулу для математического и пружинного маятников. Это результат своеобразного проявления «меловой физики». Необходимо при изучении колебаний математического и пружинного маятников обязательно проводить исследование зависимости или независимости периода колебаний маятников от различных величин. В этом случае формулы осваиваются и запоминаются гораздо быстрее и качественнее.

Источник: Демидова М.Ю., Грибов В.А. Методические рекомендации для учителей, подготовленные на основе анализа типичных ошибок участников ЕГЭ 2021 года по физике //Педагогические измерения. - 2021. - № 4. - С. 132-150.

Решение. Период колебаний математического маятника равен
\[ T = 2\pi \cdot \sqrt{\frac{l}{g}}. \]
Тогда частота
\[ \nu = \frac{1}{T} = \frac{1}{2\pi} \cdot \sqrt{\frac{g}{l}}.\;\;\;(1) \]
Период и частота колебаний математического маятника не зависят от массы груза. Запишем уравнение (1) для маятников с разной длинной нити
\[ \nu _1 = \frac{1}{2\pi } \cdot \sqrt{\frac{g}{l_1}},\ \ \nu _2 = \frac{1}{2\pi } \cdot \sqrt{\frac{g}{l_2}}, \]
где l₂ = 9l₁. В итоге получаем
\[ \frac{\nu _1}{\nu _2} = \frac{1}{2\pi } \cdot \sqrt{\frac{g}{l_1}} \cdot 2\pi \cdot \sqrt{\frac{l_2}{g}} = \sqrt{\frac{l_2}{l_1}} = \sqrt{\frac{9l_1}{l_1}} =3. \]
Ответ: в 3 раз(а).