Пример 29.
Линза, фокусное расстояние которой 30 см, даёт на экране резкое изображение предмета с пятикратным увеличением. Экран пододвинули к линзе вдоль её главной оптической оси. Затем при неизменном положении линзы передвинули предмет на 3 см так, чтобы изображение снова стало резким. На какое расстояние сдвинули экран относительно его первоначального положения? Сделайте рисунок построения изображений в линзе с указанием хода лучей.

Источник:
1. Демидова М.Ю., Грибов В.А. Методические рекомендации для учителей, подготовленные на основе анализа типичных ошибок участников ЕГЭ 2025 года по физике. Москва, 2025.

Информация ФИПИ. В таких задачах необходимо представить два рисунка: для начального и конечного положений предмета. Рисунки должны соответствовать ситуации задачи. Это не означает, что для задачи из примера нужно обязательно построить изображение предмета с пятикратным увеличением, но на рисунке должно быть четко видно, что для действительного увеличенного изображения предмет должен находиться между фокусом и двойным фокусом. На втором рисунке эксперт должен увидеть понимание того факта, что при приближении экрана предмет нужно отодвинуть от линзы. На рисунках должны быть обозначены все расстояния, которые затем используются в формуле линзы или геометрических соотношениях.

Решение. Определим знаки величин: на экране можно получить только действительное изображение, следовательно f > 0, а линза собирающая и F > 0; предмет действительный — d > 0.
1 случай. Линза дает увеличение Г = 5. Расстояния от линзы до предмета d и от линзы до изображения f связаны между собой соотношением
\[\Gamma =\frac{f}{d}=5\ \ \text{или}\ \ f=5d.\]
Подставим полученное выражение в формулу тонкой линзы и найдем d и f:
\[\frac{1}{F}=\frac{1}{d}+\frac{1}{f}=\frac{1}{d}+\frac{1}{5d}=\frac{6}{5d},\]
\[d=\frac{6F}{5},\ \ d=\frac{6\cdot 30}{5}=36\ \text{см},\]
\[f=5\cdot 36=180\ \text{см}.\]

2 случай. Так как экран пододвинули к линзе на x см, то расстояние f₂ уменьшилось, а значение x будет равно
\[x=f-f_2.\ \ \ (1)\]
Запишем формулу тонкой линзы для этого случая:
\[\frac{1}{F}=\frac{1}{d_2}+\frac{1}{f_2}.\]
Значение левой части уравнения не изменилось, поэтому и правая часть не изменится. Следовательно, если расстояние f₂ уменьшилось, то расстояние d₂ должно увеличится. При перемещении предмета на y = 3 см, расстояние d₂ станет равным
\[d_2=d+y,\ \ d_2=36+3=39\ \text{см}.\]
Найдем значение f₂ из формулы тонкой линзы
\[\frac{1}{f_2}=\frac{1}{F}-\frac{1}{d_2}=\frac{d_2-F}{F\cdot d_2},\ \ f_2=\frac{F\cdot d_2}{d_2-F},\]
\[f_2=\frac{30\cdot 39}{39-30}=130\ \text{см}.\]
Тогда из уравнения (1) получаем
\[x=180-130=50\ \text{см}.\]
Ответ: 50 см.