Пример 24.
Один моль одноатомного идеального газа совершает цикл 1-2-3-1, состоящий из изобары (1-2), изохоры (2-3) и адиабаты (3-1) (см. рисунок). Абсолютная температура газа в состояниях 1, 2 и 3 равна 400 К, 800 К и 252 К соответственно. Определите коэффициент полезного действия теплового двигателя, работающего по этому циклу.


Источник:
1. Демидова М.Ю., Грибов В.А. Методические рекомендации для учителей, подготовленные на основе анализа типичных ошибок участников ЕГЭ 2025 года по физике. Москва, 2025.

Решение. КПД теплового циклического процесса и количества теплоты связаны соотношением
\[\eta =\frac{Q_{\text{н}}-\left| Q_{\text{х}} \right|}{Q_{\text{н}}}=1-\frac{\left| Q_{\text{х}} \right|}{Q_{\text{н}}}.\ \ \ (1)\]
Цикл состоит из 3 процессов, где процесс 31 — адиабата и Q₃₁ = 0. Количество теплоты Q будем находить, используя первый закон термодинамики
\[Q=\Delta U+A,\ \ \ (2)\]
где внутренняя энергия идеального одноатомного газа через температуру T газа равна
\[U=\frac{3}{2}\cdot \nu \cdot R\cdot T.\ \ \ (3)\]
Процесс 1-2 — изобарный (p₁ = p₂). Тогда из уравнений (2) и (3) получаем
\[Q_{12}=\Delta U_{12}+A_{12},\ \ \Delta U_{12}=\frac{3}{2}\cdot \nu \cdot R\cdot \left( T_2-T_1 \right).\]
При изобарном процессе работа газа равна
\[A_{12}=p_1\cdot \Delta V_{12}.\]
Из уравнения Менделеева-Клапейрона
\[p\cdot V=\nu \cdot R\cdot T\]
при изобарном процессе (p = const, m = const) получаем, что объем V газа изменяется из-за изменения температуры T:
\[p_1\cdot \Delta V_{12}=\nu \cdot R\cdot \left( T_2-T_1 \right).\]
Тогда работа газа и количество теплоты будут равны
\[A_{12}=\nu \cdot R\cdot \left( T_2-T_1 \right),\]
\[Q_{12}=\frac{3}{2}\cdot \nu \cdot R\cdot \left( T_2-T_1 \right)+\nu \cdot R\cdot \left( T_2-T_1 \right)=\frac{5}{2}\cdot \nu \cdot R\cdot \left( T_2-T_1 \right)>0,\]
так как T₂ > T₁.

Процесс 2-3 — изохорный (V₂ = V₃). Тогда работа газа A₂₃ = 0 и из уравнений (2) и (3) получаем
\[Q_{23}=\Delta U_{23}=\frac{3}{2}\cdot \nu \cdot R\cdot \left( T_3-T_2 \right)<0,\]
так как T₃ < T₂.

Так как Q₁₂ > 0, то
\[Q_{\text{н}}=Q_{12}=\frac{5}{2}\cdot \nu \cdot R\cdot \left( T_2-T_1 \right);\]
так как Q₂₃ < 0, то
\[\left| Q_{\text{х}} \right|=\left| Q_{23} \right|=\frac{3}{2}\cdot \nu \cdot R\cdot \left( T_2-T_3 \right).\]
После подстановки в уравнение (1) получаем
\[\eta =1-\frac{\frac{3}{2}\cdot \nu \cdot R\cdot \left( T_2-T_3 \right)}{\frac{5}{2}\cdot \nu \cdot R\cdot \left( T_2-T_1 \right)}=1-\frac{3\cdot \left( T_2-T_3 \right)}{5\cdot \left( T_2-T_1 \right)},\]
\[\eta =1-\frac{3\cdot \left( 800-252 \right)}{5\cdot \left( 800-400 \right)}=0,178=17,8\ %.\]
Ответ: 17,8 %.