Пример 26.
Постоянное количество одноатомного идеального газа участвует в процессе, график которого изображён на рисунке в координатах p-ρ, где p — давление газа, ρ — плотность газа. Определите, получает газ теплоту или отдаёт в процессах 1-2 и 2-3. Ответ поясните, опираясь на законы молекулярной физики и термодинамики.


Источник:
1. Демидова М.Ю., Грибов В.А. Методические рекомендации для учителей, подготовленные на основе анализа типичных ошибок участников ЕГЭ 2025 года по физике. Москва, 2025.

Информация ФИПИ. Достаточно часто в таких заданиях предлагаются графике не в стандартных координатах давление — объем — температура, а в величинах, связанных с этими параметрами: концентрация молекул или плотность газа вместо объема, внутренняя энергия или средняя кинетическая энергия теплового движения молекул вместо абсолютной температуры. Поэтому первый шаг — это приведение к стандартным величинам с обязательной ссылкой на соответствующую формулу. Для задания из примера 26 необходимо указать: плотность газа ρ = m/V, где m — масса газа, V — его объем, тогда в соответствии с уравнением Клапейрона – Менделеева
\[p=\frac{\rho \cdot R\cdot T}{\mu }.\]
Следующий шаг — это ссылка на первый закон термодинамики и формулу для внутренней энергии идеального одноатомного газа. По первому закону термодинамики количество теплоты, которое газ получает, равно сумме изменения его внутренней энергии ΔU и работы газа A:
\[Q=\Delta U+A.\]
Для идеального одноатомного газа внутренняя энергия
\[U=\frac{3}{2}\cdot \frac{m}{\mu }\cdot R\cdot T,\]
где μ — молярная масса газа, m = const.
Далее необходимы рассуждения о каждом участке графика, указание на соответствующий изопроцесс, определение работы газа, изменения внутренней энергии и количества теплоты.

Решение ФИПИ. 1. На участке 1-2 плотность газа увеличивается прямо пропорционально его давлению, значит, согласно уравнению Клапейрона - Менделеева \(  p=\frac{\rho \cdot R\cdot T}{\mu } \) происходит изотермическое сжатие газа. Объем уменьшается, газ сжимают, следовательно, работа газа отрицательна: A < 0. Внутренняя энергия газа остается неизменной: ΔU = 0. По первому закону термодинамики Q < 0. В этом процессе газ отдает некоторое количество теплоты в окружающую среду.
2. Так как на участке 2-3 плотность газа не изменяется, его объем постоянен (изохорный процесс), значит, работа газа A = 0. В этом процессе давление газа растет, согласно уравнению Клапейрона - Менделеева температура газа также растет, т.е. его внутренняя энергия увеличивается: ΔU > 0. Значит, Q > 0, и газ в этом процессе получает некоторое количество теплоты.

Решение. По условию количество вещества ν во всех процессах постоянно.
На каждом участке определять получает газ теплоту или отдаёт будем из первого закона термодинамики:
\[Q=\Delta U+A.\ \ \ (1)\]
Если Q > 0, то газ получает теплоту; если Q < 0 — газ отдает теплоту.
Участок 1-2. Так как в осях p(ρ) прямая графика проходит через точку 0, то давление p прямопропорционально плотности ρ, т.е.
\[p=\alpha \cdot \rho ,\]
где α — коэффициент пропорциональности, величина постоянная. Тогда из уравнения Менделеева-Клапейрона получаем
\[p=\frac{\rho \cdot R\cdot T}{M},\ \ T=\frac{p\cdot M}{\rho \cdot R}=\frac{\alpha \cdot \rho \cdot M}{\rho \cdot R}=\frac{\alpha \cdot M}{R}=\text{const,}\]
так как молярная масса M для данного газа — величина постоянная. Следовательно, это изотермический процесс.
При изотермическом процессе ΔU₁₂ = 0.
Из уравнения изотермического процесса (p·V = const) следует, что если давление p газа уменьшается, то его объем V увеличивается и наоборот. По графику определяем, что давление p газа увеличивается, поэтому его объем V уменьшается. Следовательно, работа газа отрицательна: A₁₂ < 0.
Тогда из уравнения (1) получаем, что
\[Q_{12}=\Delta U_{12}+A_{12}=A_{12}<0.\]
Газ отдает теплоту.

Участок 2-3. Так как прямая графика перпендикулярна оси ρ, то плотность газа ρ = const. По определению плотность газа равна
\[\rho =\frac{m}{V}.\]
Так как по условию количество вещества ν во всех процессах постоянно, то масса m газа так же не будет изменяться. А при постоянной плотности ρ объем газа V = const и это изохорный процесс.
При изохорном процессе работа газа A₂₃ = 0.
Из уравнения изохорного процесса \(  \left( \frac{p}{T}=\text{const} \right) \) следует, что давление p и температура T газа изменяются одинаково. По графику определяем, что давление p газа увеличивается, поэтому его температура T так же увеличивается.
Для идеального одноатомного газа его внутренняя энергия равна
\[U=\frac{3}{2}\cdot \nu \cdot R\cdot T.\]
Следовательно, если его температура T увеличивается внутренняя энергия газа так же увеличивается и ΔU₂₃ > 0.
Тогда из уравнения (1) получаем, что
\[Q_{23}=\Delta U_{23}+A_{23}=\Delta U_{23}>0.\]
Газ получает теплоту.
Ответ. Газ количество теплоты на участке 1-2 отдает, на участке 2-3 получает.