28. Конденсатор C₁ = 1 мкФ заряжен до напряжения U = 300 В и включён в последовательную цепь из резистора R = 300 Ом, незаряженного конденсатора C₂ = 2 МКФ И разомкнутого ключа К (см. рисунок). Какое количество теплоты выделится в цепи после замыкания ключа, пока ток в цепи не прекратится?

Решение. При разомкнутом ключе на конденсаторе C₁ равно U, конденсатор C₂ по условию не заряжен. Тогда заряды конденсаторов до замыкания ключа будут равны
\[ q_{01}=C_1\cdot U,\ \ q_{02}=0. \]
После замыкания ключа произойдет перезарядка конденсаторов и в цепи пойдет ток. В это время и будет выделяться количество теплоты Q на резисторе R.
Через некоторое время процесс прекращается, и сила тока I₂ в цепи становится равной нулю. Поэтому напряжение на резисторе так же станет равным нулю \( \left( U_R= I_2 \cdot R= 0 \cdot R=0 \right) \), а напряжения на конденсаторах станут равными U₂ (т.к. конденсаторы подключены к одним и тем же точкам). Тогда заряды конденсаторов будут равны
\[ q_1 = C_1 \cdot U_2,\ \ q_2 = C_2 \cdot U_2. \]
Так как в цепи нет источника тока, то будет выполняться закон сохранения электрического заряда конденсаторов цепи:
\[ q_1+q_2 =q_{01} + q_{02}, \]
\[ C_1 \cdot U_2 + C_2 \cdot U_2 = C_1 \cdot U+0, \]
\[ \left( C_1 + C_2 \right) \cdot U_2 = C_1 \cdot U,\ \ U_2 = \frac{C_1 \cdot U}{C_1 + C_2}, \]

В цепи нет источника тока (работа источника тока равна нулю), механическую работу не совершают. Поэтому по закону сохранения энергии энергия конденсаторов до соединения W₀ (W₀ = W₀₁, энергия второго незаряженного конденсатора W₀₂ = 0) равна сумме энергий конденсаторов W (W = W₁ + W₂) после соединения и количеству теплоты Q, которое выделится на резисторе во время перезарядки конденсаторов, т.е.
\[ W_0 = W+Q, \]
\[  W_{01} = W_1 + W_2 +Q, \]
где
\[ W_{01} = \frac{C_1 \cdot U_1^2}{2},\ \ W_1 = \frac{C_1 \cdot U_2^2}{2},\ \ W_2 = \frac{C_2 \cdot U_2^2}{2}. \]
В итоге получаем
\[ Q = W_{01} - W_1 - W_2 =\frac{C_1 \cdot U_1^2}{2}-\frac{C_1 \cdot U_2^2}{2}-\frac{C_2 \cdot U_2^2}{2} = \frac{C_1 \cdot U_1^2 - \left( C_1+ C_2 \right)\cdot U_2^2}{2}, \]
\[ Q=\frac{1\cdot 300^2-\left( 1+2 \right)\cdot 100^2}{2}\cdot 10^{-6}=0,03, \]
Ответ: 30 мДж.