ЕГЭ 2024. Физика. Отличный результат. Кинематика. Контроль 2.1

[Александр Сакович]

К2.1. Расстояние между пунктами A и B равно 30 км. Из пункта A в направлении пункта B выезжает мотоциклист со скоростью 50 км/ч. Одновременно из пункта B в том же направлении, что и мотоциклист, выезжает трактор со скоростью 20 км/ч. На каком расстоянии от пункта A мотоциклист догонит трактор?
Ответ: _____ км.

Источники:
1. ЕГЭ. Физика. Отличный результат / под ред. М. Ю. Демидовой. — Москва: Издательство «Национальное образование», 2022. — 736 с. — (ЕГЭ. ФИПИ — школе).
2. ЕГЭ. Физика. Отличный результат / под ред. М. Ю. Демидовой. — Москва: Издательство «Национальное образование», 2024. — 496 с. — (ЕГЭ. Отличный результат. Учебная книга).

[Александр Сакович]

Решение. Составим уравнения движения для мотоциклиста и трактора. За начало отсчета примем точку A. Ось 0Х направим по направлению движения. За начало отсчета времени примем момент времени, когда тела выезжают из пунктов А и В. Этот момент и изобразим на рисунке.

Уравнение движения в общем виде
\[x = x_0 + \upsilon _{0x} \cdot t + \frac{a_x \cdot t^2}{2}.\]
где а_х = 0 (скорости тел не меняются). Тогда
\[x = x_0 + \upsilon _{0x} \cdot t.\ \ \ (1)\]
Запишем уравнение (1) для двух тел:
\[x_1 = x_{01} + \upsilon _{1x} \cdot t,\ \ x_2 = x_{02} + \upsilon _{2x} \cdot t.\]
где для мотоциклиста х₀₁ = 0 м, υ_1x = υ₁ = 50 км/ч; для трактора — х₀₂ = 30 км, υ_2x = υ₂ = 20 км/ч. Тогда
\[x_1 = 50t\ (\text{км}),\ \ x_2 = 30 + 20t\ (\text{км}).\]
Если в момент времени t₁ мотоциклист догонит трактор, то координаты тел станут равны, т.е.
\[x_1\left( t_1 \right) = x_2\left( t_1 \right),\ \ 50t_1 = 30 + 20t_1.\]
Решим полученное уравнение, найдем время t₁ и подставим в любое уравнение x(t₁):
\[30t_1 = 30,\ \ t_1 = 1\ \text{ч},\ \ x_1\left( t_1 \right) = 50 \cdot 1 = 50\ \text{км}.\]
Расстоянии l от пункта A (x_А = 0 км) до места встречи (x₁ = 50 км) равно
\[l = \left| x_1-x_A \right| = \left| 50-0 \right| = 50\ \text{км}.\]
Ответ: 50 км.