ЕГЭ 2025. Анализ ошибок. Пример 30

[Александр Сакович]

Пример 30.
Квадрат со стороной a = 10 см лежит в плоскости главной оптической оси тонкой собирающей линзы с оптической силой D = 2 дптр так, что одна из его диагоналей перпендикулярна главной оптической оси линзы (см. рисунок). Расстояние от центра квадрата до плоскости линзы d₁ = 1 м. Определите площадь изображения квадрата в линзе. Сделайте рисунок, на котором постройте изображение квадрата в линзе, указав ход всех необходимых для построения лучей.

Источник:
1. Демидова М.Ю., Грибов В.А. Методические рекомендации для учителей, подготовленные на основе анализа типичных ошибок участников ЕГЭ 2025 года по физике. Москва, 2025.

[Александр Сакович]

Информация ФИПИ. В задачах второго типа крайне сложным для участников экзамена является построение изображения. К сожалению, значимая часть приступающих к решению не понимает, что существуют продольные искажения, и пытаются построить изображение квадрата в виде квадрата.
Требований к выбору лучей, при помощи которых строится изображение, нет. Однако стоит придерживаться данных ниже рекомендаций.
- Можно не строить лучи для предметов, находящихся на двойном фокусном расстоянии, сразу указывая их изображение на том же расстоянии от линзы, но необходимо словесное указание на факт равенства этих расстояний при этом условии.
- Для точек, находящихся на главной оптической оси (или в других случаях, когда это необходимо), нужно пользовать построением изображения точки при помощи побочной оптической оси.
- Желательно оптимизировать количество лучей, при помощи которых можно получить изображение предмета, не загромождать построение лишними лучами.

Построения ФИПИ. 1. Проведем три параллельных луча через вершины A, B и C квадрата, а также параллельную им побочную оптическую ось. Проведенные лучи после преломления линзой пересекаются в одной точке, лежащей в фокальной плоскости. Точки пересечения с главной оптической осью линзы двух преломленных лучей дадут изображения A₁ и C₁ точек A и C квадрата.
2. Для получения изображения точки B необходимо построить еще одну побочную ось, которая пересекает третий преломленный луч и дает изображение B₁. В силу симметрии предмета относительно главной оптической оси его изображение также будет симметричным. (Поскольку точки B и D находятся на двойном фокусном расстоянии, то это построение можно не проводить, сделать соответствующее словесное указание.)

Напомним, что задачи на изображения в линзах могут решаться через формулы из кодификатора (формулу линзы и формулу для увеличения линзы), а могут — из геометрических соображений. Для последнего способа очень важно четкое указание на рисунке всех используемых расстояний, описания подобных треугольников и т.п.

[Александр Сакович]

Решение. Построение изображения смотрите в решении ФИПИ.
Определим знаки величин: линза собирающая поэтому F > 0; предмет действительный — d > 0; из построений следует, что изображение действительное — f > 0.
Для решения будем использовать формулу тонкой линзы
\[\frac{1}{F}=D=\frac{1}{d}+\frac{1}{f}\ \ \ (1)\]
и формулу поперечного увеличения
\[\Gamma =\frac{h}{H}=\frac{f}{d}.\ \ \ (2)\]
Площадь четырехугольника A₁B₁C₁D₁ можно найти как сумму площадей нескольких фигур (см. рисунок в построениях ФИПИ). Например, или 1 вариант (ΔA₁C₁D₁ и ΔA₁B₁C₁), или 2 вариант (ΔA₁B₁D₁ и ΔB₁C₁D₁).
Воспользуемся первым вариантом. В силу симметрии площади ΔA₁C₁D₁ и ΔA₁B₁C₁ равны, поэтому
\[S_{A_{1}B_{1}C_{1}D_1}=2S_{A_{1}C_{1}D_1}=2 \cdot \frac{A_{1}C_1 \cdot \frac{B_{1}D_1}{2}}{2}=\frac{A_{1}C_1 \cdot B_{1}D_1}{2}.\ \ \ (3)\]
Найдем значение B₁D₁. Запишем уравнения (1) и (2) для отрезка BD
\[D=\frac{1}{d_1}+\frac{1}{f_1},\ \ \Gamma =\frac{B_{1}D_1}{BD}=\frac{f_1}{d_1},\]
где d₁ = 1 м, \( BD=a\cdot \sqrt{2} \) — диагональ квадрата со стороной a = 0,1 м. Решим систему этих уравнений. Например,
\[\frac{1}{f_1}=D-\frac{1}{d_1}=\frac{D\cdot d_1-1}{d_1},\ \ f_1=\frac{d_1}{D\cdot d_1-1},\]
\[B_{1}D_1=\frac{f_1}{d_1}\cdot BD=\frac{BD}{D\cdot d_1-1}=\frac{a\cdot \sqrt{2}}{D\cdot d_1-1},\]

B₁D₁ = 0,1414 м = 14,14 см.

Найдем значение A₁C₁. Запишем уравнение (1) для точек A и С
\[D=\frac{1}{d_2}+\frac{1}{f_2},\ \ D=\frac{1}{d_3}+\frac{1}{f_3},\]
где
\[d_2=d_1+\frac{a\cdot \sqrt{2}}{2},\ \ d_3=d_1-\frac{a\cdot \sqrt{2}}{2}\ -\]
к расстоянию d₁ добавляем и отнимаем половина диагонали квадрата со стороной a = 0,1 м. Найдем значения f₂ и f₃ из полученных уравнений
\[\frac{1}{f_2}=D-\frac{1}{d_2}=\frac{D\cdot d_2-1}{d_2},\ \ f_2=\frac{d_2}{D\cdot d_2-1},\ \ f_3=\frac{d_3}{D\cdot d_3-1}.\]
\[f_2=\frac{d_1+\frac{a\cdot \sqrt{2}}{2}}{D\cdot \left( d_1+\frac{a\cdot \sqrt{2}}{2} \right)-1}=\frac{2d_1+a\cdot \sqrt{2}}{D\cdot \left( 2d_1+a\cdot \sqrt{2} \right)-2},\]
\[f_3=\frac{d_1-\frac{a\cdot \sqrt{2}}{2}}{D\cdot \left( d_1-\frac{a\cdot \sqrt{2}}{2} \right)-1}=\frac{2d_1-a\cdot \sqrt{2}}{D\cdot \left( 2d_1-a\cdot \sqrt{2} \right)-2},\]

f₂ = 0,9381 м = 93,81 см.
f₃ = 1,0824 м = 108,24 см.

Отрезок A₁C₁ будет равен
\[A_{1}C_1=f_3-f_2,\]

A₁C₁ = 14,43 см.

Подставим полученные значения A₁C₁ и B₁D₁ в уравнение (3) и получим:

S(A₁B₁C₁D₁) ≈ 102 см².

Ответ: 102 см².