ЕГЭ 2025. Анализ ошибок. Пример 27

[Александр Сакович]

Пример 27.
На рис. 1 приведена зависимость внутренней энергии U 1 моль идеального одноатомного газа от его объёма V в процессе 1-2-3. Постройте график этого процесса в переменных p-V (p — давление газа). Точка, соответствующая состоянию 1, уже отмечена на рис. 2. Построение объясните, опираясь на законы молекулярной физики.

Источник:
1. Демидова М.Ю., Грибов В.А. Методические рекомендации для учителей, подготовленные на основе анализа типичных ошибок участников ЕГЭ 2025 года по физике. Москва, 2025.

[Александр Сакович]

Информация ФИПИ. В задачах такого типа всегда используются графики с учетом указания координат параметров в явном виде или при помощи сетки на графике. К ним применимы все те рекомендации, которые были даны выше. Дополнением могут служить следующие рекомендации.
- В процессе рассуждений необходимо описывать, во сколько раз меняются искомые параметры, а не ограничиваться только указанием этого на графике в ответе.
- Целесообразно в случае гиперболы указывать в рассуждениях вид графика. К сожалению, не всегда в графике, который является ответом, можно четко прорисовать такую кривую.

Решение ФИПИ. 1. Внутренняя энергия идеального одноатомного газа пропорциональна его абсолютной температуре:
\[U=\frac{3}{2}\cdot \nu \cdot R\cdot T.\]
2. На участке 1-2 температура газа не меняется, происходит изотермическое расширение, давление в этом процессе в соответствии с законом Бойля - Мариотта \(  \left( p_1\cdot V_1=p_2\cdot V_2 \right) \) уменьшается в 2 раза. В координатах p-V график является гиперболой.
3. На участке 2-3 внутренняя энергия, а также температура пропорциональны объему, процесс при постоянном количестве вещества согласно уравнению Клапейрона - Менделеева \(  \left( p\cdot V=\nu \cdot R\cdot T \right) \) является изобарным расширением, давление в нем не меняется, а объем в соответствии с графиком на рис. 1 увеличивается в 2 раза. В координатах p-V график является отрезком горизонтальной прямой.
4. Ответ:

[Александр Сакович]

Решение. По условию количество вещества ν = 1 моль = const.
Внутренняя энергия U идеального одноатомного газа и его объём V связаны соотношением
\[U=\frac{3}{2}\cdot p\cdot V.\ \ \ (1)\]
Внутренняя энергия U идеального одноатомного газа и его температура T связаны соотношением
\[U=\frac{3}{2}\cdot \nu \cdot R\cdot T.\ \ \ (2)\]
Обозначим значения одной клетки по оси V как V₀, по оси U — U₀, по оси p — p₀. Тогда из графиков условия определяем:

U₁ = U₂ = 2U₀, U₃ = 4U₀;
V₁ = 2V₀, V₂ = 4V₀, V₃ = 8V₀;
p₁ = 4p₀.

Участок 1-2. Из графика определяем, что внутренняя энергия U газа не изменяется U₁ = U₂. Тогда при ν = const из уравнения (2) следует, что температура T газа так же не изменяется. Это изотермический процесс. График такого процесса в осях p-V — гипербола. Определим значение p₂.
1 способ. Из уравнения изотермического процесса (см. решение ФИПИ пункт 2).
2 способ. Распишем уравнение (1) для первого и второго состояния и решим систему уравнений:
\[U_1=\frac{3}{2}\cdot p_1\cdot V_1,\ \ U_2=\frac{3}{2}\cdot p_2\cdot V_2,\]
\[U_1=U_2,\ \ \frac{3}{2}\cdot p_1\cdot V_1=\frac{3}{2}\cdot p_2\cdot V_2,\]
\[p_2=\frac{p_1\cdot V_1}{V_2}=\frac{4p_0\cdot 2V_0}{4V_0}=2p_0.\]

Участок 2-3. Из графика U-V определяем, что продолжение прямой 2-3 проходит через точку 0 графика. Следовательно, то внутренняя энергия U газа прямопропорционально его объёму V, т.е.
\[U=\alpha \cdot V,\]
где α — коэффициент пропорциональности, величина постоянная. Тогда из уравнения (1) получаем
\[\alpha \cdot V=\frac{3}{2}\cdot p\cdot V,\ \ p=\frac{2\alpha }{3}=\text{const}.\]
Это изобарный процесс, p₂ = p₃. График такого процесса в осях p-V — прямая линия, перпендикулярная оси p.
Ответ. График процесса в осях p-V показан на рисунке.