ЕГЭ 2025. Анализ ошибок. Пример 15

[Александр Сакович]

Пример 15.
В первом опыте доску AB длиной L = 130 см левым концом закрепили на неподвижной горизонтальной плоскости, а правый конец доски подняли над плоскостью на высоту h₁ = 50 см. На доску положили брусок. Коэффициент трения между бруском и доской μ = 0,8. Во втором опыте правый конец этой доски подняли над плоскостью на высоту h₂ = 78 см и положили на доску тот же самый брусок. Как во втором опыте по сравнению с первым изменился модуль силы трения, действующей на брусок (увеличился, уменьшился, не изменился)? Сделайте схематичный рисунок с указанием сил, действующих на брусок. Укажите для каждого случая, покоится брусок или движется. Ответ поясните, указав, какие явления и закономерности Вы использовали для объяснения.

Источник:
1. Демидова М.Ю., Грибов В.А. Методические рекомендации для учителей, подготовленные на основе анализа типичных ошибок участников ЕГЭ 2025 года по физике. Москва, 2025.

[Александр Сакович]

Информация ФИПИ. Как правило, сделать рисунок с указанием силы тяжести, силы нормальной реакции опоры и силы трения смогли все приступившие к решению задачи. Основные ошибки были в анализе ситуации и записи второго закона Ньютона для скользящего вниз бруска и покоящегося бруска. При скольжении
\[F_{\text{тр}}=\mu \cdot m\cdot g\cdot \cos \alpha ,\]
следовательно, брусок движется при μ < tg α. Если брусок покоится, то
\[m\cdot g\cdot \sin \alpha -F_{\text{тр}}=0.\]
При решении этой задачи лишь 10 % участников экзамена смогли представить полностью обоснованное объяснение и сформулировать верный ответ, еще 5 % смогли получить верный ответ, но допустили неточности в обосновании.

[Александр Сакович]

Решение. На брусок действуют сила тяжести m∙g, сила реакции опоры N и сила трения F_тр. Если брусок будет двигаться, то сила трения — это сила трения скольжения F_{тр ск}; если брусок не будет двигаться, то сила трения — это сила трения покоя F_тр. Но в обоих случаях сила трения направлена вдоль доски против предполагаемого направления скольжения. Оси направим так, как показано на рисунке.

Задачу будем решать в инерциальной системе отсчета, связанной с поверхностью Земли. Брусок будем считать материальной точкой, так как он движется поступательно. Тогда для бруска можем применять второй закон Ньютона.
По условию неизвестно, движется брусок или нет. Но, если брусок начнет движение, то значение его ускорения a > 0. Следовательно, равнодействующая сила так же должна быть больше нуля:
\[m\cdot \vec{g}+\vec{F}_{\text{тр ск}}+\vec{N}>0.\]
Определим условие, при котором выполняется это неравенство. Запишем неравенство в проекциях на оси координат и учтем, что ускорение направлено вдоль доски (перпендикулярно оси 0Y):
\[0X:\ m\cdot g\cdot \sin \alpha -F_{\text{тр ск}}>0,\]
\[0Y:\ 0=-m\cdot g\cdot \cos \alpha +N\ \ \text{или}\ \ N=m\cdot g\cdot \cos \alpha ,\]
где \( F_{\text{тр ск}}=\mu \cdot N=\mu \cdot m\cdot g\cdot \cos \alpha . \) Тогда
\[m\cdot g\cdot \sin \alpha -\mu \cdot m\cdot g\cdot \cos \alpha >0,\ \ \sin \alpha -\mu \cdot \cos \alpha >0,\]
\[\mu < tg \alpha .\]
Значение tg α найдем из прямоугольного треугольника, гипотенуза которого равна L, противолежащий катет h, а прилежащий катет \(  \sqrt{L^2-h^2}: \)
\[tg \alpha =\frac{h}{\sqrt{L^2-h^2}}.\]
В итоге получаем следующее условия движения бруска
\[\mu <\frac{h}{\sqrt{L^2-h^2}}.\]
По условию L = 1,3 м, μ = 0,8. Если h₁ = 0,5 м, то
\[0,8<\frac{0,5}{\sqrt{1,3^2-0,5^2}} \approx 0,42.\]
Неравенство неверное, поэтому брусок покоится на доске при высоте h₁ = 0,5 м.
Если h₂ = 0,78 м, то
\[0,8<\frac{0,78}{\sqrt{1,3^2-0,78^2}}=0,75.\]
Неравенство неверное, поэтому брусок покоится на доске при высоте h₂ = 0,78 м.
Так как брусок покоится в обоих случаях, то сила трения — это сила трения покоя F_тр, которую найдем из второго закона Ньютона для бруска:
\[m\cdot \vec{g}+\vec{F}_{\text{тр}}+\vec{N}=0,\]
\[0X:\ m\cdot g\cdot \sin \alpha -F_{\text{тр}}=0,\ \ F_{\text{тр}}=m\cdot g\cdot \sin \alpha .\]
По условию масса бруска не изменяется, а при увеличении высоты подъема h доски, угол α и sin α так же увеличатся. Следовательно, и сила трения будет увеличиваться.
Ответ. Брусок покоится в обоих случаях. Во втором опыте модуль силы трения увеличился.