ЕГЭ 2025. Анализ ошибок. Пример 12

[Александр Сакович]

Пример 12.
Один моль аргона является рабочим телом в тепловом двигателе, который работает по циклу, показанному на рисунке в переменных p-V (p — давление аргона; V — его объём). Из приведённого ниже списка выберите все верные утверждения, характеризующие работу двигателя.

1) Аргон получает положительное количество теплоты от нагревателя только в процессе 1-2.
2) В процессе 3-4 внутренняя энергия аргона не изменяется.
3) Работа аргона за цикл равна 2p₀·V₀.
4) Максимальная абсолютная температура аргона в цикле в 6 раз больше минимальной.
5) В процессе 4-1 аргон отдаёт холодильнику положительное количество теплоты.
Ответ: ____.

Источник:
1. Демидова М.Ю., Грибов В.А. Методические рекомендации для учителей, подготовленные на основе анализа типичных ошибок участников ЕГЭ 2025 года по физике. Москва, 2025.

[Александр Сакович]

Информация ФИПИ. Средний процент выполнения — 50%.
Здесь полностью верный ответ указали 27 % выпускников, а частично верный — 44 %. При этом наиболее популярные неверные ответы были 1 и 5. Это означает, что экзаменуемые успешно применяют к анализу процесса уравнение состояния газа и умеют определять работу по графику, однако испытывают сложности в применении первого закона термодинамики, не различают, в каких случаях газ получает или отдает теплоту.

Анализ условия. 1) Аргон — это одноатомный газ. По условию количество вещества ν = 1 моль газа в процессах постоянно.
2) Из графика в условии задачи определяем, что процесс 1-2 — это изобарный процесс (график перпендикулярен оси p), давление p газа не изменяется, а объем V газа увеличивается.
3) Из графика в условии задачи определяем, что процесс 2-3 — это изохорный процесс (график перпендикулярен оси V), объем V газа не изменяется, а его давление p уменьшается.
4) Из графика в условии задачи определяем, что процесс 3-4 — это изобарный процесс (график перпендикулярен оси p), давление p газа не изменяется, а объем V газа уменьшается.
5) Из графика в условии задачи определяем, что процесс 4-1 — это изохорный процесс (график перпендикулярен оси V), объем V газа не изменяется, а его давление p увеличивается.

Теория. 1) Для одноатомного газа внутренняя энергия газа равна
\[U=\frac{3}{2}\cdot p\cdot V.\ \ \ (1)\]
2) При изобарном процессе первый закон термодинамики имеет вид
\[Q=\Delta U+A.\ \ \ (2)\]
3) При изобарном процессе работа газа равна
\[A=p\cdot \Delta V.\ \ \ (3)\]

[Александр Сакович]

Решение. Проверим каждое утверждение.
2) В процессе 3-4 внутренняя энергия аргона не изменяется.
Из условия задачи определяем, что процесс 3-4 — это изобарный процесс, давление p газа не изменяется, а объем V газа уменьшается (см. анализ условия пункт 4).
При изменении объема V газа при постоянном давлении p из уравнения (1) получаем, что изменение внутренней энергии равно
\[\Delta U_{34}=\frac{3}{2}\cdot p_3\cdot \Delta V_{34}.\]
Так как объем V газа уменьшается, то ΔV₃₄ < 0 и
\[\Delta U_{34}<0,\]
т.е. внутренняя U энергия газа уменьшается.
Утверждение № 2 неверное.

3) Работа аргона за цикл равна 2p₀·V₀.
Работа газа за цикл в осях p-V равна площади фигуры, ограниченной графиками цикла. Полученная фигура — это прямоугольник, площадь которого равна
\[S_{1234}=A_{1234}=\left( p_1-p_4 \right)\cdot \left( V_2-V_1 \right).\]
Из графика условия задачи определяем, что

p₁ = 2p₀, p₄ = p₀,
V₁ = V₀, V₂ = 3V₀.

Тогда
\[A_{1234}=\left( 2p_0-p_0 \right)\cdot \left( 3V_0-V_0 \right)=2p_0\cdot V_0.\]
Утверждение № 3 верное.

4) Максимальная абсолютная температура аргона в цикле в 6 раз больше минимальной.
Максимальную и минимальную температуру определим графическим способом — проведем изотермы (гиперболы) через точки графика (см. рисунок). Так как, чем выше изотерма, тем больше ее температура, то самая маленькая температура в точке 4, самая большая — в точке 2.

Сравним эти температуры, использую универсальный газовый закон (уравнение Клапейрона) для точек 2 и 4:
\[\frac{p_2\cdot V_2}{T_2}=\frac{p_4\cdot V_4}{T_4},\ \ \frac{T_2}{T_4}=\frac{p_2\cdot V_2}{p_4\cdot V_4}.\]
Из графика условия задачи определяем, что

p₂ = 2p₀, p₄ = p₀,
V₂ = 3V₀, V₄ = V₀.

Тогда
\[\frac{T_2}{T_4}=\frac{2p_0\cdot 3V_0}{p_0\cdot V_0}=6.\]
Утверждение № 4 верное.

5) В процессе 4-1 аргон отдаёт холодильнику положительное количество теплоты.
Из условия задачи определяем, что процесс 4-1 — это изохорный процесс, объем газа не изменяется, а его давление p увеличивается (см. анализ условия пункт 5).
При изохорном процессе A₄₁ = 0 и первый закон термодинамики имеет вид:
\[Q_{41}=\Delta U_{41}.\]
При изменении давления p газа при постоянном объеме V из уравнения (1) получаем, что изменение внутренней энергии равно
\[\Delta U_{41}=\frac{3}{2}\cdot \Delta p_{41}\cdot V_4.\]
Тогда
\[Q_{41}=\frac{3}{2}\cdot \Delta p_{41}\cdot V_4.\]
Так как давление p газа увеличивается, то Δp₄₁ > 0 и
\[Q_{41}>0,\]
т.е. газ получает некоторое количество теплоты Q.
Утверждение № 5 неверное.

1) Аргон получает положительное количество теплоты от нагревателя только в процессе 1-2.
В решении пункт 5 мы определили, что газ получает некоторое количество теплоты Q и в процессе 41.
Утверждение № 1 неверное.
Ответ: 34.