ЕГЭ 2024. Физика. Отличный результат. Термодинамика. Задача 9.6

[Александр Сакович]

9.6 (12.6). Один моль идеального одноатомного газа совершает циклический процесс 1-2-3-4-1, график которого показан на рисунке в координатах p-V.

Из предложенного перечня выберите все правильные утверждения.
1) В процессе 1-2 внутренняя энергия газа увеличивается.
2) В процессе 2-3 газ совершает положительную работу.
3) В процессе 3-4 газу сообщают положительное количество теплоты.
4) В процессе 4-1 абсолютная температура газа увеличивается в 4 раза.
5) Работа, совершённая газом в процессе 1-2, в 3 раза больше работы, совершённой над газом в процессе 3-4.
Ответ: ____.

Источники:
1. ЕГЭ. Физика. Отличный результат / под ред. М. Ю. Демидовой. — Москва: Издательство «Национальное образование», 2022. — 736 с. — (ЕГЭ. ФИПИ — школе).
2. ЕГЭ. Физика. Отличный результат / под ред. М. Ю. Демидовой. — Москва: Издательство «Национальное образование», 2024. — 496 с. — (ЕГЭ. Отличный результат. Учебная книга).

[Александр Сакович]

Анализ условия. 1) По условию количество вещества ν = 1 моль газа в процессах постоянно, газ одноатомный. Для одноатомного газа можно записать, что
\[U=\frac{3}{2} \cdot p \cdot V.\ \ \ (1)\]
2) Из графика в условии задачи определяем, что процесс 1-2 — это изобарный процесс (график перпендикулярен оси p), давление p газа не изменяется, а объем V газа увеличивается.
3) Из графика в условии задачи определяем, что процесс 2-3 — это изохорный процесс (график перпендикулярен оси V), объем V газа не изменяется, а его давление p уменьшается.
4) Из графика в условии задачи определяем, что процесс 3-4 — это изобарный процесс (график перпендикулярен оси p), давление p газа не изменяется, а объем V газа уменьшается.
5) Из графика в условии задачи определяем, что процесс 4-1 — это изохорный процесс (график перпендикулярен оси V), объем V газа не изменяется, а его давление p увеличивается.

[Александр Сакович]

Решение. Проверим каждое утверждение.
1) В процессе 1-2 внутренняя энергия газа увеличивается.
Из условия задачи определяем, что процесс 1-2 — это изобарный процесс, давление p газа не изменяется, а объем V газа увеличивается (см. анализ условия пункт 2).
При изменении объема V газа при постоянном давлении p из уравнения (1) получаем, что изменение внутренней энергии равно
\[\Delta U_{12}=\frac{3}{2} \cdot p_1 \cdot \Delta V_{12}.\]
Так как объем V газа увеличивается, то ΔV₁₂ > 0 и
\[\Delta U_{12}>0,\]
т.е. внутренняя U энергия газа увеличивается.
Утверждение № 1 верное.

2) В процессе 2-3 газ совершает положительную работу.
Из условия задачи определяем, что процесс 2-3 — это изохорный процесс, объем V газа не изменяется (см. анализ условия пункт 3). Тогда работа газа равна A = 0.
Утверждение № 2 неверное.

3) В процессе 3-4 газу сообщают положительное количество теплоты.
Из условия задачи определяем, что процесс 3-4 — это изобарный процесс, давление p газа не изменяется, а объем V газа уменьшается (см. анализ условия пункт 4).
При изобарном процессе первый закон термодинамики имеет вид:
\[Q_{34}=\Delta U_{34}+A_{34},\ \ A_{34}=p_3 \cdot \Delta V_{34}.\]
При изменении объема V газа при постоянном давлении p из уравнения (1) получаем, что изменение внутренней энергии равно
\[\Delta U_{34}=\frac{3}{2} \cdot p_3 \cdot \Delta V_{34}.\]
Тогда
\[Q_{34}=\frac{3}{2} \cdot p_3 \cdot \Delta V_{34}+p_3 \cdot \Delta V_{34}=\frac{5}{2} \cdot p_3 \cdot \Delta V_{34}.\]
Так как объем V газа уменьшается, то ΔV₃₄ < 0 и
\[Q_{34}<0,\]
т.е. газ отдает некоторое количество теплоты Q.
Утверждение № 4 неверное.

4) В процессе 4-1 абсолютная температура газа увеличивается в 4 раза.
Из условия задачи определяем, что процесс 4-1 — это изохорный процесс (см. анализ условия пункт 5). Из графика определяем, что давление увеличивается в 4 раза.
Тогда из уравнения изохорного процесса
\[\frac{p}{T}=\text{const}\]
получаем, что температура T газа так же увеличивается в 4 раза.
Утверждение № 4 верное.

5) Работа, совершённая газом в процессе 1-2, в 3 раза больше работы, совершённой над газом в процессе 3-4.
Работа газов в осях p-V равна площади фигур под графиком, поэтому
\[A_{12}=p_1 \cdot \Delta V_{12},\ \ A_{34}=p_4 \cdot \Delta V_{34}.\]
Из условия задачи определяем, что p₁ = 4p₄, ΔV₁₂ = –ΔV₃₄. Учтем, что работа над газом A´₃₄ = –A₃₄. Тогда
\[\frac{A_{12}}{A'_{34}}=\frac{p_1 \cdot \Delta V_{12}}{-p_4 \cdot \Delta V_{34}}=\frac{4p_4 \cdot \left( -\Delta V_{34} \right)}{-p_4 \cdot \Delta V_{34}}=4.\]
Работа, совершённая газом в процессе 1-2, в 4 раза больше работы, совершённой над газом в процессе 3-4.
Утверждение № 5 неверное.
Ответ: 14.