ЕГЭ 2024. Физика. Отличный результат. Термодинамика. Задача 9.5

[Александр Сакович]

9.5 (12.5). Один моль идеального одноатомного газа совершает циклический процесс 1-2-3-4-1, график которого показан на рисунке в координатах p-V.

Из предложенного перечня выберите все правильные утверждения.
1) В процессе 1-2 газ совершает отрицательную работу.
2) В процессе 2-3 газу сообщают положительное количество теплоты.
3) В процессе 3-4 газ отдаёт положительное количество теплоты в окружающую среду.
4) В процессе 4-1 внутренняя энергия газа остаётся неизменной.
5) Работа, совершённая газом в процессе 1-2, в 1,6 раза больше работы, совершённой над газом в процессе 3-4.
Ответ: ____.

Источники:
1. ЕГЭ. Физика. Отличный результат / под ред. М. Ю. Демидовой. — Москва: Издательство «Национальное образование», 2022. — 736 с. — (ЕГЭ. ФИПИ — школе).
2. ЕГЭ. Физика. Отличный результат / под ред. М. Ю. Демидовой. — Москва: Издательство «Национальное образование», 2024. — 496 с. — (ЕГЭ. Отличный результат. Учебная книга).

[Александр Сакович]

Анализ условия. 1) По условию количество вещества ν = 1 моль газа в процессах постоянно, газ одноатомный. Для одноатомного газа можно записать, что
\[U=\frac{3}{2} \cdot p \cdot V.\ \ \ (1)\]
2) Из графика в условии задачи определяем, что процесс 1-2 — это изобарный процесс (график перпендикулярен оси p), давление p газа не изменяется, а объем V газа увеличивается.
3) Из графика в условии задачи определяем, что процесс 2-3 — это изохорный процесс (график перпендикулярен оси V), объем V газа не изменяется, а его давление p уменьшается.
4) Из графика в условии задачи определяем, что процесс 3-4 — это изобарный процесс (график перпендикулярен оси p), давление p газа не изменяется, а объем V газа уменьшается.
5) Из графика в условии задачи определяем, что процесс 4-1 — это не изопроцесс (в осях p-V нет графика изопроцесса в виде прямой, проходящей через точку 0), а объем V газа и его давление p увеличиваются.

[Александр Сакович]

Решение. Проверим каждое утверждение.
1) В процессе 1-2 газ совершает отрицательную работу.
Из условия задачи определяем, что процесс 1-2 — это изобарный процесс, объем V газа увеличивается (см. анализ условия пункт 2). При расширении работа газа A > 0.
Утверждение № 1 неверное.

2) В процессе 2-3 газу сообщают положительное количество теплоты.
Из условия задачи определяем, что процесс 2-3 — это изохорный процесс, объем V газа не изменяется, а его давление p уменьшается (см. анализ условия пункт 3). При изохорном процессе работа газа A₂₃ = 0, и первый закон термодинамики имеет вид:
\[Q_{23}=\Delta U_{23}.\]
При изменении давления p газа при его постоянном объеме V из уравнения (1) получаем, что изменение внутренней энергии равно
\[\Delta U_{23}=\frac{3}{2} \cdot \Delta p_{23} \cdot V_2.\]
Так как давление p уменьшается, то Δp₂₃ < 0 и
\[\Delta U_{23}<0,\ \ Q_{23}<0,\]
т.е. газ отдает некоторое количество теплоты Q.
Утверждение № 2 неверное.

3) В процессе 3-4 газ отдаёт положительное количество теплоты в окружающую среду.
Из условия задачи определяем, что процесс 3-4 — это изобарный процесс, давление p газа не изменяется, а объем V газа уменьшается (см. анализ условия пункт 4).
При изобарном процессе первый закон термодинамики имеет вид:
\[Q_{34}=\Delta U_{34}+A_{34},\ \ A_{34}=p_3 \cdot \Delta V_{34}.\]
При изменении объема V газа при постоянном давлении p из уравнения (1) получаем, что изменение внутренней энергии равно
\[\Delta U_{34}=\frac{3}{2} \cdot p_3 \cdot \Delta V_{34}.\]
Тогда
\[Q_{34}=\frac{3}{2} \cdot p_3 \cdot \Delta V_{34}+p_3 \cdot \Delta V_{34}=\frac{5}{2} \cdot p_3 \cdot \Delta V_{34}.\]
Так как объем V газа уменьшается, то ΔV₃₄ < 0 и
\[Q_{34}<0,\]
т.е. газ отдает некоторое количество теплоты Q.
Утверждение № 3 верное.

4) В процессе 4-1 внутренняя энергия газа остаётся неизменной.
Из условия задачи определяем, что процесс 4-1 — это не изопроцесс (см. анализ условия пункт 5), а объем V газа и его давление p увеличиваются.
При изменении объема V газа и его давления p из уравнения (1) получаем, что изменение внутренней энергии равно
\[\Delta U_{41}=\frac{3}{2} \cdot \left( p_1 \cdot V_1-p_4 \cdot V_4 \right).\]
Так как объем V газа и его давление p увеличиваются, то V₁ > V₄, p₁ > p₄ и
\[\Delta U_{41}>0,\]
т.е. внутренняя U энергия газа увеличивается.
Утверждение № 4 неверное.

5) Работа, совершённая газом в процессе 1-2, в 1,6 раза больше работы, совершённой над газом в процессе 3-4.
Работа газов в осях p-V равна площади фигур под графиком, поэтому
\[A_{12}=p_1 \cdot \Delta V_{12},\ \ A_{34}=p_4 \cdot \Delta V_{34}.\]
Из условия задачи определяем, что p₁ = 2p₄, ΔV₁₂ = 4 деления, ΔV₃₄ = –5 делений. Учтем, что работа над газом A´₃₄ = –A₃₄. Тогда
\[\frac{A_{12}}{A'_{34}}=\frac{p_1 \cdot \Delta V_{12}}{-p_4 \cdot \Delta V_{34}}=\frac{2p_4 \cdot 4}{-p_4 \cdot \left( -5 \right)}=1,6.\]
Работа, совершённая газом в процессе 1-2, в 1,6 раза больше работы, совершённой над газом в процессе 3-4.
Утверждение № 5 верное.
Ответ: 35.