ЕГЭ 2024. Физика. Отличный результат. Молекулярная. Задача 9.19

[Александр Сакович]

9.19 (12.19). Сосуд разделён на две равные по объёму части пористой неподвижной перегородкой. В левой части сосуда содержится 1 моль гелия, в правой — 40 г аргона. Перегородка может пропускать молекулы гелия и является непроницаемой для молекул аргона. Температура газов одинаковая и остаётся постоянной.
Выберите все верные утверждения, описывающие состояние газов после установления равновесия в системе.
1) Концентрация гелия в правой части сосуда в 2 раза меньше, чем аргона.
2) Отношение давления газов в правой части к давлению газа в левой части равно 1,5.
3) В правой части сосуда общее число молекул газов меньше, чем в левой части.
4) Внутренняя энергия гелия и аргона одинакова.
5) В результате установления равновесия давление в правой части увеличилось в 3 раза.
Ответ: ____.

Источники:
1. ЕГЭ. Физика. Отличный результат / под ред. М. Ю. Демидовой. — Москва: Издательство «Национальное образование», 2022. — 736 с. — (ЕГЭ. ФИПИ — школе).
2. ЕГЭ. Физика. Отличный результат / под ред. М. Ю. Демидовой. — Москва: Издательство «Национальное образование», 2024. — 496 с. — (ЕГЭ. Отличный результат. Учебная книга).

[Александр Сакович]

Анализ условия. 1) По условию перегородка может пропускать молекулы гелия и является непроницаемой для молекул аргона. Следовательно, часть гелия переходит из одной части сосуда в другу. Аргон остается в своей части сосуда.
Введем обозначения: V₁ и V₂ — это объемы частей сосуда; p₀₁ и p₀₂ — это начальные парциальные давления гелия и аргона соответственно; p₁, p₂ и p₃ — это конечные парциальные давления гелия и аргона; ν₀₁ и ν₀₂ — это начальные количества вещества гелия и аргона; ν₁, ν₂ и ν₃ — это конечные количества вещества гелия и аргона; T₁ и T₂ — температуры гелия и аргона (см. рисунок). С индексами «3» обозначены параметры гелия в правой части сосуда.

2) По условию сосуд разделён на две равные по объёму части неподвижной перегородкой, поэтому V₁ = V₂ = V и они не изменяются.
3) По условию температура газов одинакова и остаётся постоянной, т.е. T₁ = T₂ = T = const.
4) Так как аргон остается в своей части сосуда, то его параметры не поменяются, т.е. p₀₂ = p₂, ν₀₂ = ν₂.
5) По условию количество вещества гелия ν₀₁ = 1 моль, масса аргона m₀₂ = 40 г. Тогда
\[\nu _{02}=\frac{m_{02}}{M_2}=\frac{40}{40}=1\ \text{моль},\]
где M₂ = 40 г/моль — молярная масса аргона (см. Справочные данные, таблицу «Молярная масса»).
6) Гелий будет переходить во вторую часть сосуда до тех пор, пока парциальные давления гелия с двух сторон перегородки не станут одинаковыми, т.е. p₁ = p₃.
7) Количества вещества ν₃ гелия в правой части сосуда найдем из уравнений Менделеева-Клапейрона, которые запишем для гелия в конечном состоянии в левой части сосуда с параметрами p₁, ν₁, V₁, T₁ и в правой части сосуда с параметрами p₃, ν₃, V₂, T₂:
\[p_1 \cdot V_1=\nu _1 \cdot R \cdot T_1,\ \ p_3 \cdot V_2=\nu _3 \cdot R \cdot T_2,\]
где V₁ = V₂ = V, T₁ = T₂ = T, p₁ = p₃ = p (см. анализ условия пункты 2, 3 и 6). Тогда
\[\nu _1=\frac{p_1 \cdot V_1}{R \cdot T_1}=\frac{p \cdot V}{R \cdot T},\ \ \nu _3=\frac{p_3 \cdot V_2}{R \cdot T_2}=\frac{p \cdot V}{R \cdot T}.\]
Из данных уравнений получаем, что ν₁ = ν₃. Тогда
\[\nu _{01}=\nu _1+\nu _3=2\nu _3,\ \ \nu _1=\nu _3=\frac{\nu _{01}}{2}=\frac{1}{2}=0,5\ \text{моль}.\]

[Александр Сакович]

Решение. Проверим каждое утверждение.
1) Концентрация гелия в правой части сосуда в 2 раза меньше, чем аргона.
Концентрацию n молекул газа равна
\[n=\frac{N}{V},\]
где число молекул N газа найдем следующим образом
\[\nu =\frac{N}{N_A},\ \ N=\nu \cdot N_A.\]
Тогда
\[n=\frac{\nu \cdot N_A}{V}.\]
По условию газы находятся в одной части сосуда, т.е. у них один и тот же объем, а N_A — постоянная величина. Количества вещества гелия ν₃ в правой части сосуда в 2 раза меньше количества вещества аргона ν₀₂ (см. анализ условия пункт 7, ν₀₂ = 1 моль, ν₃ = 0,5 моль). Тогда из полученного уравнения следует, что концентрация гелия в правой части сосуда в 2 раза меньше, чем аргона.
Утверждение № 1 верное.

2) Отношение давления газов в правой части к давлению газа в левой части равно 1,5.
Так как речь идет о давлении газов в правой части, то речь идет о давлении в конечный момент времени, когда в правую часть перейдет часть гелия.
В левой части сосуда находится гелий с параметрами p₁, V₁, ν₁, T₁. Давление газа найдем из уравнения Менделеева-Клапейрона:
\[p_1 \cdot V_1=\nu _1 \cdot R \cdot T_1,\ \ p_{\text{лев}}=p_1=\frac{\nu _1 \cdot R \cdot T_1}{V_1}.\ \ \ (1)\]
Аналогично запишем парциальные давления газов в правой части сосуда для гелия p₃ с параметрами V₂, ν₃, T₂ и аргона p₂ с параметрами V₂, ν₂, T₂:
\[p_2=\frac{\nu _2 \cdot R \cdot T_2}{V_2},\ \ p_3=\frac{\nu _3 \cdot R \cdot T_2}{V_2}.\]
Тогда общее давление газов в правой части по закону Дальтона равно сумме парциальных давлений:
\[p_{\text{прав}}=p_2+p_3=\frac{\left( \nu _2+\nu _3 \right) \cdot R \cdot T_2}{V_2}.\ \ \ (2)\]
По условию V₁ = V₂ = V, T₁ = T₂ = T, ν₁ = ν₃ = 0,5 моль, ν₂ = 1 моль (см. анализ условия пункты 2, 3, 7). Тогда из уравнений (1) и (2) получаем
\[p_{\text{лев}}=\frac{\nu _1 \cdot R \cdot T}{V},\ \ p_{\text{прав}}=\frac{\left( \nu _2+\nu _3 \right) \cdot R \cdot T}{V},\]
\[\frac{p_{\text{прав}}}{p_{\text{лев}}}=\frac{\left( \nu _2+\nu _3 \right) \cdot R \cdot T}{V} \cdot \frac{V}{\nu _1 \cdot R \cdot T}=\frac{\nu _2+\nu _3}{\nu _1}=\frac{1+0,5}{0,5}=3.\]
Утверждение № 2 неверное.

3) В правой части сосуда общее число молекул газов меньше, чем в левой части.
Из уравнений для давления p газа и его концентрации n получаем
\[p=n \cdot k \cdot T,\ \ n=\frac{N}{V},\]
\[p=\frac{N}{V} \cdot k \cdot T,\ \ N=\frac{p \cdot V}{k \cdot T}.\]
В левой и правой частях сосуда равные объемы V₁ = V₂ и температуры T₁ = T₂ (см. анализ условия пункты 2 и 3), k — постоянная величина. Так как парциальные давления гелия с двух сторон перегородки равны p₁ = p₃ (см. анализ условия пункт 6), то из полученного уравнения следует, что число молекул N гелия в левой и правой частях сосуда так же равны. Но в правой части сосуда есть еще аргон, поэтому общее число молекул справа будет больше.
Утверждение № 3 неверное.

4) Внутренняя энергия гелия и аргона одинакова.
Гелий и аргон — это одноатомные газ, поэтому их внутренние энергии U можно рассчитать по формуле
\[U=\frac{3}{2} \cdot \nu \cdot R \cdot T.\]
По условию температуры газов равны T₁ = T₂ = T (см. анализ условия пункт 3), количества вещества гелия ν₀₁ во всем сосуде равно количеству вещества аргона ν₀₂ (см. анализ условия пункт 5, ν₀₁ = 1 моль, ν₀₂ = 1 моль). Тогда из полученного уравнения следует, что внутренняя энергия гелия и аргона одинакова.
Утверждение № 4 верное.

5) В результате установления равновесия давление в правой части увеличилось в 3 раза.
В правой части сосуда вначале находился только аргон с параметрами p₀₂, V₂, ν₀₂, T₂. Его давление найдем из уравнения Менделеева-Клапейрона:
\[p_{02} \cdot V_2=\nu _{02} \cdot R \cdot T_2,\ \ p_{02}=\frac{\nu _{02} \cdot R \cdot T_2}{V_2}.\ \ \ (3)\]
По условию объем V₂ и температура T₂ правой части не меняются, ν₃ = 0,5 моль, ν₀₂ = ν₂ = 1 моль (см. анализ условия пункт 7, количество аргона справа не меняется). Тогда из уравнений (2) и (3) получаем
\[\frac{p_{\text{прав}}}{p_{02}}=\frac{\left( \nu _2+\nu _3 \right) \cdot R \cdot T_2}{V_2} \cdot \frac{V_2}{\nu _{02} \cdot R\cdot T_2}=\frac{\nu _2+\nu _3}{\nu _{02}}=\frac{1+0,5}{1}=1,5.\]
Утверждение № 5 неверное.
Ответ: 14.