ЕГЭ 2024. Физика. Отличный результат. Законы сохранения 6.24

[Александр Сакович]

6.24 (7.24). В результате перехода спутника Земли с одной круговой орбиты на другую его центростремительное ускорение уменьшается. Как изменяются в результате этого перехода потенциальная энергия спутника в поле силы тяжести Земли и скорость его движения по орбите?
Для каждой величины определите соответствующий характер изменения:
1) увеличивается; 2) уменьшается; 3) не изменяется.
Запишите в таблицу выбранные цифры для каждой физической величины. Цифры в ответе могут повторяться.

Источники:
1. ЕГЭ. Физика. Отличный результат / под ред. М. Ю. Демидовой. — Москва: Издательство «Национальное образование», 2022. — 736 с. — (ЕГЭ. ФИПИ — школе).
2. ЕГЭ. Физика. Отличный результат / под ред. М. Ю. Демидовой. — Москва: Издательство «Национальное образование», 2024. — 496 с. — (ЕГЭ. Отличный результат. Учебная книга).

[Александр Сакович]

Анализ условия. 1) Спутник вращается вокруг Земли.
2) По условию изменяется радиус r круговой орбиты спутника (характер изменения неизвестен), а его центростремительное ускорение a уменьшается.
Определим, как зависит потенциальная энергия E спутника в поле силы тяжести Земли и скорость υ его движения по орбите от центростремительного ускорения a.

Решение. При движении вокруг Земли на спутник действует только сила всемирного тяготения к Земле. Земля имеет шарообразную форму, а искусственный спутник около нее считаем материальной точкой (его размеры во много раз меньше Земли). Поэтому можем применять формулу для расчета силы всемирного тяготения спутника и Земли
\[F=G \cdot \frac{M \cdot m}{r^2},\ \ \ (1)\]
где M — масса Земли, m — масса спутника, r — радиус орбиты спутника.
Задачу будем решать в инерциальной системе отсчета, связанной с центром Земли. Так как спутник считаем материальной точкой, то можем применять второй закон Ньютона. Запишем данный закон для спутника, на который действует только сила всемирного тяготения F:
\[m \cdot a=F\ \text{или}\ m \cdot a=G \cdot \frac{M \cdot m}{r^2},\]
\[a=G \cdot \frac{M}{r^2}.\ \ \ (2)\]
При движении по окружности центростремительное ускорение a равно
\[a=\frac{\upsilon ^2}{r}.\]
Тогда с учетом уравнения (2) получаем:
\[\frac{\upsilon ^2}{r}=G \cdot \frac{M}{r^2},\]
\[\upsilon =\sqrt{\frac{G \cdot M}{r}}.\ \ \ (3)\]

1) Определим, как изменяется потенциальная энергия E спутника в поле силы тяжести Земли.
Потенциальная энергия E спутника массы m в поле силы тяжести относительно поверхности Земли равна
\[E=m \cdot g \cdot h,\]
где h = r – R₃ — высота спутника от поверхности Земли, r — радиус орбиты спутника, R₃ — радиус Земли. Радиус орбиты можно найти из уравнения (2):
\[r=\sqrt{\frac{G \cdot M}{a}}.\]
Тогда
\[h=\sqrt{\frac{G \cdot M}{a}}-R_3,\ \ E=m \cdot g \cdot \left( \sqrt{\frac{G \cdot M}{a}}-R_3 \right).\]
По условию масса M земли, ее радиус R₃ и масса m спутника не изменяются, а центростремительное ускорение a спутника уменьшается. Следовательно, потенциальная энергия E увеличивается (знаменатель дроби уменьшается).
Это соответствует изменению № 1.

2) Определим, как изменяется скорость υ движения спутника по орбите.
По условию масса M земли не изменяется, а в пункте 1 решения мы определили, что радиус орбиты r спутника увеличивается. Тогда из уравнения (3) следует, что скорость υ движения спутника уменьшается (знаменатель дроби увеличивается).
Это соответствует изменению № 2.
Ответ: 12.