ЕГЭ 2024. Физика. Отличный результат. Законы сохранения 5.13

[Александр Сакович]

5.13 (6.13). Свинцовый брусок массой m₁ = 1000 г покоится на гладкой горизонтальной поверхности. На него налетает пластилиновый шарик массой m₂ = 200 г, скользящий по поверхности со скоростью 3 м/с. В результате тела слипаются и движутся как единое целое.
Выберите все верные утверждения о результатах этого опыта.
1) Скорость тел после соударения равна 0,5 м/с.
2) В результате соударения выделилось количество теплоты, равное 0,75 Дж.
3) Кинетическая энергия свинцового бруска после соударения равна 0,25 Дж.
4) Суммарный импульс тел после удара равен 3 кг·м/с.
5) Общая кинетическая энергия системы тел «брусок + шарик» при ударе не изменилась.
Ответ: ____.

Источники:
1. ЕГЭ. Физика. Отличный результат / под ред. М. Ю. Демидовой. — Москва: Издательство «Национальное образование», 2022. — 736 с. — (ЕГЭ. ФИПИ — школе).
2. ЕГЭ. Физика. Отличный результат / под ред. М. Ю. Демидовой. — Москва: Издательство «Национальное образование», 2024. — 496 с. — (ЕГЭ. Отличный результат. Учебная книга).

[Александр Сакович]

Анализ условия. 1) Сделаем схематический чертеж, ось 0Х направим по направлению начальной скорости шарика (см. рисунок).

2) Начальный и конечный импульсы системы материальных точек «два шара» в векторном виде равны соответственно
\[\vec{p}_0=m_2 \cdot \vec {\upsilon }_{02},\ \ \vec{p}=\left( m_1+m_2 \right) \cdot \vec \upsilon .\]
Для данной системы тел равнодействующая внешних сил равна нулю (силы тяжести m·g скомпенсированы силами реакции опоры N), поэтому в ИСО можем применять закон сохранения импульса системы тел. Запишем его в векторном виде и в проекции на ось координат:
\[\vec{p}_0=\vec{p},\ \ m_2 \cdot \vec {\upsilon }_{02}=\left( m_1+m_2 \right) \cdot \vec \upsilon ,\]
\[0X:\ \ m_2 \cdot \upsilon _{02}=\left( m_1+m_2 \right) \cdot \upsilon .\ \ \ (1)\]
3) Пусть высота h поверхности, по которой двигаются шары, будет равна нулю.
Полная механическая энергия двух шаров в начальном состоянии равна
\[E_{\text{м0}}=E_{\text{к01}}+E_{\text{пт 01}}+E_{\text{к02}}+E_{\text{пт 02}}=\frac{m_2 \cdot \upsilon _{02}^2}{2},\]
так как шары находятся на нулевой высоте (h₀ = 0), а первый шар неподвижен.
Полная механическая энергия двух шаров в конечном состоянии равна
\[E_{\text{м}}=E_{\text{к}}+E_{\text{пт}}=\frac{\left( m_1+m_2 \right) \cdot \upsilon ^2}{2},\]
так как шары остаются на нулевой высоте (h = 0).
Так как при неупругом ударе есть потери энергии Q, а работа непотенциальных сил равна нулю, то для ИСО закон сохранения энергии можем записать так:
\[E_{\text{м0}}=E_{\text{м}}+Q,\]
\[\frac{m_2 \cdot \upsilon _{02}^2}{2}=\frac{\left( m_1+m_2 \right) \cdot \upsilon ^2}{2}+Q.\ \ \ (2)\]

[Александр Сакович]

Решение. Проверим каждое утверждение.
1) Скорость тел после соударения равна 0,5 м/с.
Скорость тел после соударения найдем из уравнения (1):
\[\upsilon =\frac{m_2 \cdot \upsilon _{02}}{m_1+m_2},\ \ \upsilon =\frac{0,2 \cdot 3}{1+0,2}=0,5\ \text{м/с}.\]
Утверждение № 1 верное.

2) В результате соударения выделилось количество теплоты, равное 0,75 Дж.
Количество теплоты, которое выделяется в результате соударения, найдем из уравнения (2) (учтем, что значение скорости υ = 0,5 м/с — см. решение пункт 1):
\[Q=\frac{m_2 \cdot \upsilon _{02}^2}{2}-\frac{\left( m_1+m_2 \right) \cdot \upsilon ^2}{2},\ \ Q=\frac{0,2 \cdot 3^2}{2}-\frac{\left( 1+0,2 \right) \cdot 0,5^2}{2}=0,75\ \text{Дж}.\]
Утверждение № 2 верное.

3) Кинетическая энергия свинцового бруска после соударения равна 0,25 Дж.
Так как свинцовый брусок массой m₁ после соударения движется вместе со вторым шариком со скоростью υ = 0,5 м/с (см. решение пункт 1), то его кинетическая энергия равна
\[E_{\text{к}}=\frac{m_1 \cdot \upsilon ^2}{2},\ \ E_{\text{к}}=\frac{1 \cdot 0,5^2}{2}=0,125\ \text{Дж}.\]
Утверждение № 3 неверное.

4) Суммарный импульс тел после удара равен 3 кг·м/с.
Суммарный импульс тел после удара — это конечный импульс системы и его значение равно (см. анализ пункт 2 и учтем, что значение скорости υ = 0,5 м/с — см. решение пункт 1)
\[p=\left( m_1+m_2 \right) \cdot \upsilon ,\ \ p=\left( 1+0,2 \right) \cdot 0,5=0,6\ \text{кг}\cdot \text{м/с}.\]
Утверждение № 4 неверное.

5) Общая кинетическая энергия системы тел «брусок + шарик» при ударе не изменилась.
При неупругом ударе есть потери энергии Q (см. анализ пункт 3), поэтому общая кинетическая энергия системы тел изменилась.
Утверждение № 5 неверное.
Ответ: 12.