ЕГЭ 2024. Физика. Отличный результат. Динамика. Контроль 2.1

[Александр Сакович]

1. Искусственный спутник обращается по круговой орбите на высоте 800 км от поверхности планеты. Радиус планеты равен 6200 км, ускорение свободного падения на поверхности планеты равно 7 м/с². Какова скорость движения спутника по орбите?
Ответ: _____ км/с.

Источники:
1. ЕГЭ. Физика. Отличный результат / под ред. М. Ю. Демидовой. — Москва: Издательство «Национальное образование», 2022. — 736 с. — (ЕГЭ. ФИПИ — школе).
2. ЕГЭ. Физика. Отличный результат / под ред. М. Ю. Демидовой. — Москва: Издательство «Национальное образование», 2024. — 496 с. — (ЕГЭ. Отличный результат. Учебная книга).

[Александр Сакович]

Решение. При движении вокруг планеты на спутник действует только сила всемирного тяготения F к планете. Планета имеет шарообразную форму (дан радиус планеты), а искусственный спутник (ИС) около нее считаем материальной точкой (его размеры во много раз меньше размеров планеты). Поэтому можем применять формулу для расчета силы тяготения спутника и планеты
\[F=G \cdot \frac{M \cdot m}{r^2},\]
где M — масса планеты, m — масса спутника, r = R + h — радиус орбиты спутника (см. рисунок), R — радиус планеты, h — высота от поверхности планеты. Тогда

\[F=G \cdot \frac{M \cdot m}{{\left( R+h \right)}^2}.\ \ \ (1)\]
Задачу будем решать в инерциальной системе отсчета, связанной с центром планеты. Так как спутник считаем материальной точкой, то можем применять второй закон Ньютона. Запишем данный закон для спутника, на который действует только сила всемирного тяготения F,
\[m \cdot a=F,\ \ \ (2)\]
где \( a=\frac{\upsilon ^2}{r}=\frac{\upsilon ^2}{R+h} \) — центростремительное ускорение спутника, υ — скорость спутника на орбите радиуса r = R + h. Подставим центростремительное ускорение a спутника и уравнения (1) в формулу (2):
\[m \cdot \frac{\upsilon ^2}{R+h}=G \cdot \frac{M \cdot m}{{\left( R+h \right)}^2},\ \ \upsilon ^2=G \cdot \frac{M}{R+h},\]
\[\upsilon =\sqrt{\frac{G \cdot M}{R+h}}.\ \ \ (3)\]
Найдем массу M планет. По условию задано ускорение g свободного падения на поверхности планеты. Тогда сила тяжести тела массой m₁ на поверхности планеты с учетом уравнения (1) (h = 0) будет равно
\[F=G \cdot \frac{M \cdot m_1}{R^2}\ \text{или}\ F=m_1 \cdot g.\]
Так как равны левые части уравнений, то можно приравнять правые части уравнений и найти массу M:
\[m_1 \cdot g=G \cdot \frac{M \cdot m_1}{R^2},\ \ M=\frac{g \cdot R^2}{G}.\]
Подставим полученное выражение в уравнение (3)
\[\upsilon =\sqrt{\frac{G}{R+h} \cdot \frac{g \cdot R^2}{G}}=\sqrt{\frac{g \cdot R^2}{R+h}},\]
\[\upsilon =\sqrt{\frac{7 \cdot {{\left( 6200 \cdot 10^3 \right)}^2}}{\left( 6200+800 \right) \cdot 10^3}}=6200\ \text{м/с}=6,2\ \text{км/с}.\]
Ответ: 6,2 км/с.