ЕГЭ 2024. Физика. Отличный результат. Динамика 22.9

[Александр Сакович]

22.9. Два бруска массами M₁ = 1 кг и M₂ = 3 кг соответственно, лежащие на гладком горизонтальном столе, связаны невесомой и нерастяжимой нитью. На грузы действуют силы F₁ и F₂, как показано на рисунке. Сила натяжения нити T = 14 Н. Каков модуль силы F₁, если F₂ = 20 Н?

Ответ: ____ Н.

Источники:
1. ЕГЭ. Физика. Отличный результат / под ред. М. Ю. Демидовой. — Москва: Издательство «Национальное образование», 2022. — 736 с. — (ЕГЭ. ФИПИ — школе).
2. ЕГЭ. Физика. Отличный результат / под ред. М. Ю. Демидовой. — Москва: Издательство «Национальное образование», 2024. — 496 с. — (ЕГЭ. Отличный результат. Учебная книга).

[Александр Сакович]

Решение. Так как бруски находятся на гладком столе, то F_тр1 = F_тр2 = 0. На брусок 1 действуют сила тяжести m₁∙g, сила реакции опоры N₁, сила натяжения нити Т₁ и сила тяги F₁. На брусок 2 — сила тяжести m₂∙g, сила реакции опоры N₂, сила натяжения нити Т₂ и сила тяги F₂. Направления ускорений a₁ и a₂ неизвестно, но они будут направлены в одну сторону. Ось 0X направим вправо (см. рисунок).

Задачу будем решать в инерциальной системе отсчета, связанной с поверхностью Земли. Бруски будем считать материальными точками, так как они двигаются поступательно. Тогда для каждого из брусков запишем второй закон Ньютона в векторном виде и в проекциях на оси координат:
\[M_1\cdot \vec{a}_1 = \vec{N}_1+\vec{T}_1+M_1 \cdot \vec{g}+\vec{F}_1,\ \ M_2 \cdot \vec{a}_2=\vec{N}_2+\vec{F}_2+M_2 \cdot \vec{g}+\vec{T}_2,\]
\[0X:\ M_1 \cdot a_{1x}=T_1-F_1,\ \ M_2 \cdot a_{2x}=F_2-T_2,\]
где Т₁ = Т₂ = Т = 12 Н, так как тела связаны невесомой нитью; а_1x = а_2x = а_x, так как тела связаны нерастяжимой нитью и направлены в одну сторону. Подставим полученные выражения в уравнения с проекциями:
\[M_1 \cdot a_x=T-F_1,\ \ M_2 \cdot a_x=F_2-T.\]
Решим систему уравнений. Например,
\[\frac{M_1}{M_2}=\frac{T-F_1}{F_2-T},\ \ T-F_1=\frac{M_1}{M_2} \cdot \left( F_2-T \right),\]
\[F_1=T-\frac{M_1}{M_2} \cdot \left( F_2-T \right),\ \ F_1=14-\frac{1}{3} \cdot \left( 20-14 \right)=12\ \text{H}.\]
Ответ: 12 Н.