ЕГЭ 2024. Физика. Отличный результат. Динамика 6.21

[Александр Сакович]

6.21. С вершины наклонной плоскости из состояния покоя скользит с ускорением лёгкая коробочка, в которой находится груз массой m (см. рисунок). Как изменятся время движения по наклонной плоскости и модуль силы реакции опоры, если с вершины той же наклонной плоскости будет скользить та же коробочка с грузом массой m/2?

Для каждой величины определите соответствующий характер изменения:

1) увеличится; 2) уменьшится; 3) не изменится.

Запишите в таблицу выбранные цифры для каждой физической величины.
Цифры в ответе могут повторяться.

Источники:
1. ЕГЭ. Физика. Отличный результат / под ред. М. Ю. Демидовой. — Москва: Издательство «Национальное образование», 2022. — 736 с. — (ЕГЭ. ФИПИ — школе).
2. ЕГЭ. Физика. Отличный результат / под ред. М. Ю. Демидовой. — Москва: Издательство «Национальное образование», 2024. — 496 с. — (ЕГЭ. Отличный результат. Учебная книга).

[Александр Сакович]

Анализ условия. 1) Коробочка с грузом массой m скользит вниз с ускорением a.
2) По условию во втором случае с той же наклонной плоскости скользит та же коробочка с грузом массой m/2, т.е. масса груза уменьшается.
Определим, как зависит время движения t и сила реакции опоры N от массы груза m.

Решение. Будем считать коробочку с грузом одной материальной точкой, так как они движутся поступательно.
На коробочку действуют сила тяжести m∙g, сила реакции опоры N, сила трения F_тр. Так как коробочка движется, то сила трения — это сила трения скольжения. Так как тело начинает движение из состояния покоя, то ускорение направлено в сторону движения. Оси направим так, как показано на рисунке.

Задачу будем решать в инерциальной системе отсчета, связанной с Землей. Тогда для материальной точки можем записать второй закон Ньютона в векторном виде и в проекциях на оси координат:
\[m \cdot \vec{a}=m \cdot \vec{g}+\vec{F}_{\text{тр}}+\vec{N},\]
\[0X:\ m \cdot a=m \cdot g \cdot \sin \alpha -F_{\text{тр}},\]
\[0Y:\ 0=-m \cdot g \cdot \cos \alpha +N,\]
\[N=m \cdot g \cdot \cos \alpha ,\ \ \ (1)\]
где сила трения скольжения равна
\[F_{\text{тр}}=\mu \cdot N=\mu \cdot m \cdot g \cdot \cos \alpha .\]
Тогда
\[m \cdot a=m \cdot g \cdot \sin \alpha -\mu \cdot m \cdot g \cdot \cos \alpha ,\]
\[a=g \cdot \left( \sin \alpha -\mu \cdot \cos \alpha  \right).\]
Так как коробочка движется равноускоренно, то время движения найдем следующим образом (учтем, что υ₀ = 0 м/с):
\[s=\upsilon _0 \cdot t+\frac{a \cdot t^2}{2}=\frac{a \cdot t^2}{2},\]
\[t=\sqrt{\frac{2s}{a}}=\sqrt{\frac{2l}{g \cdot \left( \sin \alpha -\mu \cdot \cos \alpha  \right)}},\ \ \ (2)\]
где s = l — пройденный путь коробочки, равный длине наклонной плоскости.

1) Так как по условию коэффициент трения μ, угол α и длина l наклонной плоскости не изменяются, то из уравнения (2) следует, что при уменьшении массы m груза время t его движения не изменится.
Это соответствует изменению № 3.

2) Так как по условию угол α не изменяется, то из уравнения (1) следует, что при уменьшении массы m груза, сила реакции опоры N так же уменьшится.
Это соответствует изменению № 2.