ЕГЭ 2024. Физика. Отличный результат. Динамика 6.10

[Александр Сакович]

6.10 (7.10). В результате перехода искусственного спутника Земли с одной круговой орбиты на другую его центростремительное ускорение увеличивается. Как изменяются в результате этого перехода скорость движения спутника по орбите и период его обращения вокруг Земли?
Для каждой величины определите соответствующий характер изменения:

1) увеличивается; 2) уменьшается; 3) не изменяется.

Запишите в таблицу выбранные цифры для каждой физической величины. Цифры в ответе могут повторяться.

Источники:
1. ЕГЭ. Физика. Отличный результат / под ред. М. Ю. Демидовой. — Москва: Издательство «Национальное образование», 2022. — 736 с. — (ЕГЭ. ФИПИ — школе).
2. ЕГЭ. Физика. Отличный результат / под ред. М. Ю. Демидовой. — Москва: Издательство «Национальное образование», 2024. — 496 с. — (ЕГЭ. Отличный результат. Учебная книга).

[Александр Сакович]

Анализ условия. 1) Спутник вращается вокруг Земли.
2) По условию изменяется радиус r круговой орбиты спутника (характер изменения неизвестен), его центростремительное ускорение a увеличивается.
Определим, как зависит скорость υ движения спутника по орбите и его период T обращения вокруг Земли от его центростремительного ускорения a.

Решение. При движении вокруг Земли на спутник действует только сила всемирного тяготения к Земле. Земля имеет шарообразную форму, а искусственный спутник около нее считаем материальной точкой (его размеры во много раз меньше Земли). Поэтому можем применять формулу для расчета силы всемирного тяготения спутника и Земли
\[F=G \cdot \frac{M \cdot m}{r^2},\ \ \ (1)\]
где M — масса Земли, m — масса спутника, r — радиус орбиты спутника.
Задачу будем решать в инерциальной системе отсчета, связанной с центром Земли. Так как спутник считаем материальной точкой, то можем применять второй закон Ньютона. Запишем данный закон для спутника, на который действует только сила всемирного тяготения F, и учтем уравнение для центростремительного ускорения a спутника:
\[m \cdot a=F,\]
\[a=\frac{\upsilon ^2}{r}.\ \ \ (2)\]
Тогда с учетом уравнения (1) получаем:
\[m \cdot \frac{\upsilon ^2}{r}=G \cdot \frac{M \cdot m}{r^2},\]
\[\upsilon =\sqrt{\frac{G \cdot M}{r}}.\ \ \ (3)\]
При движении по окружности так же можем воспользоваться уравнениями для линейной υ и угловой ω скоростей спутника, и периодом T его обращения:
\[\omega =\frac{2\pi }{T},\]
\[\upsilon =\omega \cdot r=\frac{2\pi }{T} \cdot r.\ \ \ (4)\]
1) Определим, как изменяется скорость υ движения спутника по орбите.
Из уравнения (2) или (3) мы не можем получить ответ, так как не знаем как изменяется радиус орбиты r.
Решим систему уравнений (2) и (3). Например, из уравнения (3) выразим радиус орбиты r и подставим в уравнение (2):
\[\upsilon ^2=\frac{G \cdot M}{r},\ \ r=\frac{G \cdot M}{\upsilon ^2},\]
\[a=\frac{\upsilon ^4}{G \cdot M},\ \ \upsilon =\sqrt[4]{G \cdot M \cdot a}.\]
По условию масса M земли не изменяется, а центростремительное ускорение a увеличивается. Следовательно, скорость υ спутника так же увеличивается.
Это соответствует изменению № 1.

2) Определим, как изменяется период обращения T спутника вокруг Земли.
Из уравнения (4) мы не можем получить ответ, так как не знаем как изменяется радиус орбиты r.
Решим систему уравнений (3) и (4). Например, из уравнения (3) выразим радиус орбиты r и подставим в уравнение (4):
\[\upsilon ^2=\frac{G \cdot M}{r},\ \ r=\frac{G \cdot M}{\upsilon ^2},\]
\[\upsilon =\frac{2\pi }{T} \cdot \frac{G \cdot M}{\upsilon ^2},\ \ T=2\pi \cdot \frac{G \cdot M}{\upsilon ^3}.\]
По условию масса M земли не изменяется, а в пункте 1 решения мы определили, что скорость υ спутника увеличивается. Следовательно, период T уменьшается (знаменатель дроби увеличивается).
Это соответствует изменению № 2.
Ответ: 12.