ЕГЭ 2024. Физика. Отличный результат. Динамика 6.9

[Александр Сакович]

6.9 (7.9). В результате перехода искусственного спутника Земли с одной круговой орбиты на другую его центростремительное ускорение уменьшается. Как изменяются в результате этого перехода радиус орбиты спутника и его скорость движения по орбите вокруг Земли?
Для каждой величины определите соответствующий характер изменения:

1) увеличивается; 2) уменьшается; 3) не изменяется.

Запишите в таблицу выбранные цифры для каждой физической величины. Цифры в ответе могут повторяться.

Источники:
1. ЕГЭ. Физика. Отличный результат / под ред. М. Ю. Демидовой. — Москва: Издательство «Национальное образование», 2022. — 736 с. — (ЕГЭ. ФИПИ — школе).
2. ЕГЭ. Физика. Отличный результат / под ред. М. Ю. Демидовой. — Москва: Издательство «Национальное образование», 2024. — 496 с. — (ЕГЭ. Отличный результат. Учебная книга).

[Александр Сакович]

Анализ условия. 1) Спутник вращается вокруг Земли.
2) По условию изменяется радиус r круговой орбиты спутника (характер изменения неизвестен), его центростремительное ускорение a уменьшается.
Определим, как зависит радиус орбиты r спутника и его скорость υ движения по орбите от его центростремительного ускорения a.

Решение. При движении вокруг Земли на спутник действует только сила всемирного тяготения к Земле. Земля имеет шарообразную форму, а искусственный спутник около нее считаем материальной точкой (его размеры во много раз меньше Земли). Поэтому можем применять формулу для расчета силы всемирного тяготения спутника и Земли
\[F=G \cdot \frac{M \cdot m}{r^2},\ \ \ (1)\]
где M — масса Земли, m — масса спутника, r — радиус орбиты спутника.
Задачу будем решать в инерциальной системе отсчета, связанной с центром Земли. Так как спутник считаем материальной точкой, то можем применять второй закон Ньютона. Запишем данный закон для спутника, на который действует только сила всемирного тяготения F, и учтем уравнение для центростремительного ускорения a спутника:
\[m \cdot a=F,\]
\[a=\frac{\upsilon ^2}{r}.\ \ \ (2)\]
Тогда с учетом уравнения (1) получаем:
\[m \cdot \frac{\upsilon ^2}{r}=G \cdot \frac{M \cdot m}{r^2},\]
\[\upsilon =\sqrt{\frac{G \cdot M}{r}}.\ \ \ (3)\]
1) Определим, как изменяется радиус орбиты r спутника.
Решим систему уравнений (2) и (3). Например, подставим уравнение (3) в уравнение (2) и найдем радиус r:
\[\upsilon ^2=\frac{G \cdot M}{r},\ \ a=\frac{G \cdot M}{r^2},\ \ r=\sqrt{\frac{G \cdot M}{a}}.\]
По условию масса M земли не изменяется, а центростремительное ускорение a спутника уменьшается. Следовательно, радиус орбиты r спутника увеличивается (знаменатель дроби уменьшается).
Это соответствует изменению № 1.

2) Определим, как изменяется скорость υ движения спутника по орбите.
По условию масса M земли не изменяется, а в пункте 1 решения мы определили, что радиус орбиты r спутника увеличивается. Следовательно, скорость υ движения спутника уменьшается (знаменатель дроби увеличивается).
Это соответствует изменению № 2.
Ответ: 12.