ЕГЭ 2024. Физика. Отличный результат. Динамика 5.3

[Александр Сакович]

5.3 (6.3). В лабораторных опытах по изучению закона Гука две пружины с различной жёсткостью прикрепили к штативу, поочерёдно подвешивали к ним грузы разной массы и измеряли линейкой удлинение пружин. Результаты опытов с учётом погрешностей представлены в таблице.

Выберите все утверждения, соответствующие результатам этих опытов.
1) Закон Гука выполняется только для пружины № 1.
2) Жёсткость пружины № 1 в 2 раза меньше, чем у пружины № 2.
3) Жёсткость пружины № 1 равна 50 Н/м.
4) Жёсткость пружины № 2 равна 10 Н/м.
5) Если к пружине № 2 подвесить груз 500 г, то её удлинение составит 5,9 ± 0,1 см.
Ответ: ____.

Источники:
1. ЕГЭ. Физика. Отличный результат / под ред. М. Ю. Демидовой. — Москва: Издательство «Национальное образование», 2022. — 736 с. — (ЕГЭ. ФИПИ — школе).
2. ЕГЭ. Физика. Отличный результат / под ред. М. Ю. Демидовой. — Москва: Издательство «Национальное образование», 2024. — 496 с. — (ЕГЭ. Отличный результат. Учебная книга).

[Александр Сакович]

Анализ условия. 1) Запись удлинения пружины в опыте № 1 Δl =x = (1,9 ± 0,1) см означает, что измеренная величина x принимает значения

от x_min = 1,9 – 0,1 = 1,8 см до x_max = 1,9 + 0,1 = 2,0 см.

Аналогично можно записать и для других опытов.
2) На груз, подвешенный на пружину, действуют сила тяжести m∙g, направленная вертикально вниз, и сила упругости пружины F_упр, направленная вертикально вверх. Так как груз неподвижен, то его ускорение a = 0. Ось 0Y направим вверх (см. рисунок).

Задачу будем решать в инерциальной системе отсчета, связанной с поверхностью Земли. Груз будем считать материальной точкой. Тогда можем применять второй закон Ньютона для груза. Запишем его в векторном виде и в проекциях на оси координат (учтем, что a = 0):
\[0=\vec{F}_{\text{упр}}+m \cdot \vec{g},\ \ 0Y:\ 0=F_{\text{упр}}-m \cdot g.\]
Предположим, что выполняется закон Гука:
\[F_{\text{упр}}=k \cdot x.\]
Тогда
\[F_{\text{упр}}=m \cdot g,\]
\[k \cdot x=m \cdot g.\ \ \ (1)\]

[Александр Сакович]

Решение. Проверим каждое утверждение.
1) Закон Гука выполняется только для пружины № 1.
1 способ. Если закон Гука выполняется, то можно применять уравнение (1). Тогда из этого уравнения следует, что удлинение пружины
\

Из полученного уравнения следует, что зависимость x(m) линейная, а значение x прямопропорционально m. Проверим это для всех опытов.
Для пружины № 1.
В опытах № 1 и № 2 масса m груза увеличивается в 2 раза (200/100 = 2), значит и удлинение x должно увеличится в 2 раза.
Из таблицы

x₁ = (1,9 ± 0,1) см, x₂ = (4,1 ± 0,1) см.

При увеличении в 2 раза удлинение x может принимать значения

2x₁ = (3,8 ± 0,2) см.

В значениях x₂ и 2x₁ есть общая точка 4,0 см. Закон Гука выполняется.
В опытах № 1 и № 3 масса m груза увеличивается в 3 раза (300/100 = 3), значит и удлинение x должно увеличится в 3 раза.
Из таблицы

x₁ = (1,9 ± 0,1) см, x₃ = (6,0 ± 0,1) см.

При увеличении в 3 раза удлинение x может принимать значения

3x₁ = (5,7 ± 0,3) см.

В значениях x₃ и 3x₁ есть общий промежуток от 5,9 до 6,0 см. Закон Гука выполняется.

Для пружины № 2.
В опытах № 4 и № 5 масса m груза увеличивается в 1,5 раза (300/200 = 1,5), значит и удлинение x должно увеличится в 1,5 раза.
Из таблицы

x₄ = (1,9 ± 0,1) см, x₅ = (2,9 ± 0,1) см.

При увеличении в 1,5 раза удлинение x может принимать значения

1,5x₄ = (2,85 ± 0,15) см.

В значениях x₅ и 1,5x₄ есть общий промежуток от 2,8 до 3,0 см. Закон Гука выполняется.
В опытах № 4 и № 6 масса m груза увеличивается в 2 раза (400/200 = 2), значит и удлинение x должно увеличится в 2 раза.
Из таблицы

x₄ = (1,9 ± 0,1) см, x₆ = (4,1 ± 0,1) см.

При увеличении в 2 раза удлинение x может принимать значения

2x₄ = (3,8 ± 0,2) см.

В значениях x₆ и 2x₄ есть общая точка 4,0 см. Закон Гука выполняется.
Вывод: закон Гука выполняется для обоих пружин.

2 способ. Из уравнения (1) получаем
\[m=\frac{k}{g} \cdot x.\]
Из данного уравнения следует, что зависимость m(x) линейная, а график такой зависимости — прямая линия, проходящая через начало координат.
Отметим на графике экспериментальные точки, и определим, лежат эти точки на одной прямой или нет. График смотрите на рисунке.

Прямые, проходящие через начало координат, можно провезти для значений всех опытов. Следовательно, закон Гука выполняется для двух пружин.
Примечание. Данный способ требует большой точности построения.

Утверждение № 1 неверное.

[Александр Сакович]

2) Жёсткость пружины № 1 в 2 раза меньше, чем у пружины № 2.
3) Жёсткость пружины № 1 равна 50 Н/м.
4) Жёсткость пружины № 2 равна 10 Н/м.
Из уравнения (1) найдем жесткость пружин № 1 и № 2:
\[k=\frac{m \cdot g}{x}.\]
Для опыта № 1 масса m₁ = 0,1 кг, удлинение x принимает значения x_min1 = 1,8·10^–2 м до x_max2 = 2,0·10^–2 м. Тогда
\[k_{\min 1}=\frac{0,1 \cdot 10}{2,0 \cdot 10^{-2}}=50,0\ \frac{\text{Н}}{\text{м}},\ \ k_{\max 1}=\frac{0,1 \cdot 10}{1,8 \cdot 10^{-2}} \approx 55,6\ \frac{\text{Н}}{\text{м}}.\]
Для опыта № 4 масса m₄ = 0,2 кг, удлинение x принимает значения x_min4 = 1,8·10^–2 м до x_max4 = 2,0·10^–2 м. Тогда
\[k_{\min 4}=\frac{0,2 \cdot 10}{2,0 \cdot 10^{-2}}=100,0\ \frac{\text{Н}}{\text{м}},\ \ k_{\max 4}=\frac{0,2 \cdot 10}{1,8 \cdot 10^{-2}} \approx 111,1\ \frac{\text{Н}}{\text{м}}.\]
Утверждение № 2 верное.
Жёсткость пружины № 1 50 Н/м попадает в промежуток значения от k_min1 до k_max1.
Утверждение № 3 верное.
Жёсткость пружины № 2 10 Н/м не попадает в промежуток значения от k_min4 до k_max4.
Утверждение № 4 неверное.

5) Если к пружине № 2 подвесить груз 500 г, то её удлинение составит (5,9 ± 0,1) см.
Будем считать коэффициент жесткости пружины № 2 равным 100 Н/м, тогда из уравнения (1) получаем
\[x=\frac{m \cdot g}{k},\ \ x=\frac{0,5 \cdot 10}{100}=0,05\ \text{м}=5,0\ \text{см}.\]
Это значение не попадает в промежуток (5,9 ± 0,1) см.
Утверждение № 5 неверное.
Ответ: 23.