ЕГЭ 2024. Физика. Отличный результат. Электромагнитная индукция. Контроль 1.4

[Александр Сакович]

4. В опыте по наблюдению ЭДС электромагнитной индукции квадратная рамка из тонкого провода со стороной квадрата b находится в однородном магнитном поле, перпендикулярном плоскости рамки. Индукция магнитного поля растёт за время t по линейному закону от 0 до максимального значения B_max. Во сколько раз уменьшится ЭДС индукции, возникающая в рамке, если b в 2 раза уменьшить, а зависимость B(t) не менять?
Ответ: в ____ раз(а).

Источники:
1. ЕГЭ. Физика. Отличный результат / под ред. М. Ю. Демидовой. — Москва: Издательство «Национальное образование», 2022. — 736 с. — (ЕГЭ. ФИПИ — школе).
2. ЕГЭ. Физика. Отличный результат / под ред. М. Ю. Демидовой. — Москва: Издательство «Национальное образование», 2024. — 496 с. — (ЕГЭ. Отличный результат. Учебная книга).

[Александр Сакович]

Решение. Модуль ЭДС E_i индукции, возникающей в рамке при равномерном изменении магнитного потока, равно
\[\left| E_i \right|=\left| \frac{\Delta \Phi }{\Delta t} \right|,\]
где \(  \Delta \Phi =\Phi _2-\Phi _1,\ \ \Phi =B \cdot S \cdot \cos \alpha ,  \) β = 90° (магнитное поле перпендикулярно плоскости рамки), α = 90° – β = 0º, cos 0º = 1, S₁ = S₂ = S = b², α₁ = α₂ = α — площадь витков S и угол α по условию не меняются, B₁ = 0 Тл, B₂ = B_max. Тогда
\[\Delta \Phi =B_2 \cdot S_2 \cdot \cos \alpha _2-B_1 \cdot S_1 \cdot \cos \alpha _1=B_{max} \cdot b^2,\]
\[\left| E_i \right|=\frac{B_{max} \cdot b^2}{\Delta t}.\ \ \ (1)\]
Запишем уравнение (1) для двух квадратов с разными сторонами b₁ и b₂:
\[\left| E_{i1} \right|=\frac{B_{max} \cdot b_1^2}{\Delta t},\ \ \left| E_{i2} \right|=\frac{B_{max} \cdot b_2^2}{\Delta t},\]
где по условию b₁ = 2b₂. Запишем полученные формулы с учетом условия
\[\left| E_{i1} \right|=\frac{B_{max} \cdot \left( 2b_2 \right)^2}{\Delta t}=\frac{B_{max} \cdot 4b_2^2}{\Delta t},\ \ \left| E_{i2} \right|=\frac{B_{max} \cdot b_2^2}{\Delta t}.\]
Решим систему полученных уравнений. Например,
\[\frac{\left| E_{i1} \right|}{\left| E_{i2} \right|}=\frac{B_{max} \cdot 4b_2^2}{\Delta t} \cdot \frac{\Delta t}{B_{max} \cdot b_2^2}=4.\]
Ответ: в 4 раз(а).