ЕГЭ 2024. Физика. Отличный результат. Магнитное поле 25.12

[Александр Сакович]

25.12 (28.12). Ион ускоряется в электрическом поле с разностью потенциалов U = 10 кВ и попадает в однородное магнитное поле перпендикулярно к вектору его индукции B (см. рисунок). Радиус траектории движения иона в магнитном поле R = 0,2 м, отношение массы иона к его электрическому заряду m/q = 5·10^–7 кг/Кл. Определите значение модуля индукции магнитного поля. Кинетической энергией иона при его вылете из источника пренебрегите.

Источники:
1. ЕГЭ. Физика. Отличный результат / под ред. М. Ю. Демидовой. — Москва: Издательство «Национальное образование», 2022. — 736 с. — (ЕГЭ. ФИПИ — школе).
2. ЕГЭ. Физика. Отличный результат / под ред. М. Ю. Демидовой. — Москва: Издательство «Национальное образование», 2024. — 496 с. — (ЕГЭ. Отличный результат. Учебная книга).

[Александр Сакович]

Решение. В задаче описано два процесса.
1 процесс: ион разгоняется в электрическом поле.
Считаем, что силой тяжести и размерами частицы можно пренебречь, поэтому ее можно считать материальной точкой. Тогда на ион действует только электрическое поле с силой F₁. Работу силы F₁ можно найти по теореме об изменении кинетической энергии частицы (работа всех сил, действующих на тело, равна изменению кинетической энергии тела):
\[A=\Delta W_k=W_k-W_{k0},\]
где \(  A=q \cdot \left( \varphi _1-\varphi _2 \right)=q \cdot U \) — работа электрического поля. Пусть υ — скорость частицы в конце ее разгона в электрическом поле, тогда для материальной точки
\[W_k=\frac{m \cdot \upsilon ^2}{2},\ \ W_{k0}=0,\]
так как по условию «кинетической энергией иона при его вылете из источника пренебрегите». В итоге получаем
\[q \cdot U=\frac{m \cdot \upsilon ^2}{2}.\ \ \ (1)\]
2 процесс: частица движется в магнитном поле со скоростью υ по окружности радиуса R.
Так как силой тяжести частицы пренебрегаем, то на нее действует только магнитное поле с силой Лоренца F₂. Направление этой силы определяем по правилу левой руки. При движении по окружности сила Лоренца F₂ направлена по радиусу к центру окружности. Точно так же направлено и центростремительное ускорение.
Задачу будем решать в инерциальной системе отсчета, связанной с поверхностью Земли. Тогда в ИСО для материальной точки можем записать второй закон Ньютона для движения по окружности
\[m \cdot a=F_2,\]
где \(  a=\frac{\upsilon ^2}{R},\ \ F_2=\left| q \right| \cdot B \cdot \upsilon \cdot \sin \alpha , \) q > 0 (так как ион движется к отрицательному полюсу источника и разгоняется), α = 90° (так как частица движется по окружности), sin 90º = 1. Тогда
\[\frac{m \cdot \upsilon ^2}{R}=q \cdot \upsilon \cdot B,\ \ \frac{m \cdot \upsilon }{R}=q \cdot B.\ \ \ (2)\]
Решим систему уравнений (1) и (2). Например,
\[\upsilon =\sqrt{\frac{2q \cdot U}{m}},\]
\[B=\frac{m}{q \cdot R} \cdot \upsilon =\frac{m}{q \cdot R} \cdot \sqrt{\frac{2q \cdot U}{m}}=\frac{1}{R} \cdot \sqrt{\frac{m}{q} \cdot 2U},\]

B = 0,5 Тл.

Ответ: 0,5 Тл.
Примечание. В условие задачи необходимо добавить, что размерами иона и его силой тяжести можно пренебречь. Иначе решение задачи будет зависеть от направления скорости частицы и вектора магнитной индукции по отношению к направлению силы тяжести.