ЕГЭ 2024. Физика. Отличный результат. Магнитное поле 15.9

[Александр Сакович]

15.9 (18.9). Протон в однородном магнитном поле между полюсами магнита движется по окружности. В этом же поле по окружности стала двигаться α-частица, обладающая такой же энергией, как и протон. Как изменяются период обращения в магнитном поле и скорость движения α-частицы по сравнению с протоном?
Для каждой величины определите соответствующий характер изменения:
1) увеличивается; 2) уменьшается; 3) не изменяется.
Запишите в таблицу выбранные цифры для каждой физической величины. Цифры в ответе могут повторяться.

Ответ: ____.

Источники:
1. ЕГЭ. Физика. Отличный результат / под ред. М. Ю. Демидовой. — Москва: Издательство «Национальное образование», 2022. — 736 с. — (ЕГЭ. ФИПИ — школе).
2. ЕГЭ. Физика. Отличный результат / под ред. М. Ю. Демидовой. — Москва: Издательство «Национальное образование», 2024. — 496 с. — (ЕГЭ. Отличный результат. Учебная книга).

[Александр Сакович]

Анализ условия. 1) Масса протона m₁ = 1 а.е.м., α-частица — это ядро гелия, масса которого m₂ = 4 а.е.м. (молярная масса 4·10^–4 кг/моль).
Заряд протона q₁ = e, у гелия два электрона (второй элемент в таблице Д.И. Менделеева), поэтому заряд ядра гелия q₂ = 2e.
2) Заряженные частицы движутся в однородном магнитном поле под действием силы Лоренца, поэтому силой тяжести частиц пренебрегаем.
Так как это элементарные частицы, то можно пренебречь и их размерами, и считать их материальными точками.
3) Частицы движутся в однородном магнитном поле по окружности, следовательно, скорости υ частиц перпендикулярны вектору индукции B магнитного поля.
4) По условию меняются массы m частицы, их q заряды. Движущиеся в магнитном поле частицы обладают только кинетической энергией W_k, которая по условию не меняется. Не меняется и вектор индукции B магнитного поля («в том же поле»).
Решение. Получим формулы зависимости периода T обращения и скорости υ частицы от ее массы m, заряда q, кинетической энергии W_k и вектора индукции B магнитного поля.
Так как силой тяжести протона пренебрегаем, то на частицы действует только сила Лоренца F. При движении по окружности и сила Лоренца F, и центростремительное ускорение a направлены к центру окружности.
Задачу будем решать в инерциальной системе отсчета (ИСО), связанной с Землей. Тогда в ИСО для материальной точки можно записать второй закон Ньютона
\[m \cdot a=F,\]
где \( a=\frac{\upsilon ^2}{R},\ \ F=\left| q \right| \cdot B \cdot \upsilon \cdot \sin \alpha , \) q > 0, α = 90°, sin 90º = 1. Тогда
\[\frac{m \cdot \upsilon ^2}{R}=q \cdot \upsilon \cdot B,\ \ R=\frac{m \cdot \upsilon }{B \cdot q}.\ \ \ (1)\]
1) Период T обращения по окружности найдем из формулы для линейной скорости
\[\upsilon =\frac{2\pi \cdot R}{T},\ \ T=\frac{2\pi \cdot R}{\upsilon }.\]
С учетом уравнения (1) получаем
\[T=\frac{2\pi }{\upsilon } \cdot \frac{m \cdot \upsilon }{q \cdot B}=\frac{2\pi \cdot m}{q \cdot B}.\ \ \ (2)\]
Запишем уравнение (2) для двух частиц:
\[T_1=\frac{2\pi \cdot m_1}{q_1\cdot B_1},\ \ T_2=\frac{2\pi \cdot m_2}{q_2 \cdot B_2},\]
где m₁ = 1 а.е.м., q₁ = e, m₂ = 4 а.е.м., q₂ = 2e, (см. пункт 1 анализа), B₁ = B₂ = B (см. пункт 4 анализа). Тогда
\[\frac{T_1}{T_2}=\frac{2\pi \cdot m_1}{q_1 \cdot B} \cdot \frac{q_2 \cdot B}{2\pi \cdot m_2}=\frac{m_1 \cdot q_2}{q_1 \cdot m_2}=\frac{1 \cdot 2e}{e \cdot 4}=\frac{1}{2}.\]
Период увеличился.
Это соответствует изменению № 1.

2) Скорость частицы найдем из формулы для кинетической энергии
\[W_k=\frac{m \cdot \upsilon ^2}{2},\ \ \upsilon =\sqrt{\frac{2W_k}{m}}.\]
Так как по условию масса m частицы увеличивается (m₁ = 1 а.е.м., m₂ = 4 а.е.м.), а кинетическая энергия W_k не меняется, то скорость частицы уменьшается.
Это соответствует изменению № 2.
Ответ: 12.