ЕГЭ 2024. Физика. Отличный результат. Постоянный ток 11.35

[Александр Сакович]

11.35 (14.35). Участок цепи состоит из двух последовательно соединённых цилиндрических проводников, сопротивление первого из которых равно R, а второго — 2R. Во сколько раз увеличится общее сопротивление этого участка, если удельное сопротивление и длину первого проводника увеличить вдвое?
Ответ: в ____ раз(а).

Источники:
1. ЕГЭ. Физика. Отличный результат / под ред. М. Ю. Демидовой. — Москва: Издательство «Национальное образование», 2022. — 736 с. — (ЕГЭ. ФИПИ — школе).
2. ЕГЭ. Физика. Отличный результат / под ред. М. Ю. Демидовой. — Москва: Издательство «Национальное образование», 2024. — 496 с. — (ЕГЭ. Отличный результат. Учебная книга).

[Александр Сакович]

Решение. Зависимость сопротивления R резистора от его удельного сопротивления ρ и длины проводника l имеет следующий вид
\[R=\rho \cdot \frac{l}{S}.\ \ \ (1)\]
Обозначим резистор сопротивлением R = R₁, резистор сопротивлением 2R = R₂, новый резистор R₃.
Запишем уравнение (1) для резисторов R₁ и R₃:
\[R_1=\frac{\rho _1 \cdot l_1}{S},\ \ R_3=\frac{\rho _3 \cdot l_3}{S},\]
где по условию площадь поперечного сечения S не меняется, ρ₃ = 2ρ₁, l₃ = 2l₁. Перепишем полученные уравнения с учетом условий
\[R_1=\frac{\rho _1 \cdot l_1}{S},\ \ R_3=\frac{2 \rho _1 \cdot 2l_1}{S}=\frac{4 \rho _1 \cdot l_1}{S}.\]
Тогда
\[\frac{R_3}{R_1}=\frac{4\rho _1 \cdot l_1}{S} \cdot \frac{S}{\rho _1 \cdot l_1}=4,\ \ R_3=4R_1=4R.\]
По условию резисторы R₁ и R₂ соединены последовательно, поэтому их общее сопротивление будет равно
\[R_{01}=R_1+R_2=R+2R=3R.\]
При последовательном соединении двух резисторов R₃ и R₂ их общее сопротивление будет равно
\[R_{02}=R_3+R_2=4R+2R=6R.\]
В итоге получаем
\[\frac{R_{02}}{R_{01}}=\frac{6R}{3R}=2.\]
Ответ: в 2 раз(а).