ЕГЭ 2024. Физика. Отличный результат. Постоянный ток 11.32

[Александр Сакович]

11.32 (14.32). На сколько увеличится сопротивление участка цепи АВ, схема которого показана на рисунке, если ключ К разомкнуть? Сопротивление каждого резистора равно 4 Ом.

Ответ: на ____ Ом.

Источники:
1. ЕГЭ. Физика. Отличный результат / под ред. М. Ю. Демидовой. — Москва: Издательство «Национальное образование», 2022. — 736 с. — (ЕГЭ. ФИПИ — школе).
2. ЕГЭ. Физика. Отличный результат / под ред. М. Ю. Демидовой. — Москва: Издательство «Национальное образование», 2024. — 496 с. — (ЕГЭ. Отличный результат. Учебная книга).

[Александр Сакович]

Решение. 1 случай — ключ К замкнут. Получаем соединение, которое показано на рисунке 1.

В этом случае два параллельных резистора R₂ и R₃ будут «закорочены» проводом с ключом с сопротивлением, равным нулю. В таким случаях общее сопротивление всех параллельных резисторов
\[R_{2/3}=0\ \text{Ом.}\]
Это можно доказать так: обозначим сопротивление участка с ключом К как R₄ = 0 Ом (см. рисунок 2). Резисторы R₂, R₃ и R₄ соединены параллельно, поэтому

\[\frac{1}{R_{2/3/4}}=\frac{1}{R_2}+\frac{1}{R_3}+\frac{1}{R_4}=\frac{R_3 \cdot R_4+R_2 \cdot R_4+R_2 \cdot R_3}{R_2 \cdot R_3 \cdot R_4},\]
\[R_{2/3/4}=\frac{R_2 \cdot R_3 \cdot R_4}{R_3 \cdot R_4+R_2 \cdot R_4+R_2 \cdot R_3}=0\ \text{Ом}.\]
В итоге на участке AB остается только один резистор R₁ и общее сопротивление всего участка
\[R_{01}=R_1,\ \ R_{01}=4\ \text{Ом}.\]
2 случай — ключ К разомкнут. Получаем соединение, которое показано на рисунке 3.

Резисторы R₂ и R₃ соединены параллельно. Заменяем эти два резистора одним, с сопротивлением
\[R_{2/3}=\frac{R_2 \cdot R_3}{R_2+R_3},\ \ R_{2/3}=2\ \text{Ом}.\]
Резисторы R₁ и R_2/3 соединены последовательно. Тогда общее сопротивление всего участка AB равно
\[R_{02}=R_1+R_{2/3},\ \ R_{02}=6\ \text{Ом}.\]
Увеличение сопротивления участка будет равно
\[\Delta R=R_{02}-R_{01},\ \ \Delta R =2\ \text{Ом}.\]
Ответ: 2 Ом.