ЕГЭ 2024. Физика. Отличный результат. Постоянный ток 11.16

[Александр Сакович]

11.16 (14.16). Пять одинаковых резисторов с сопротивлением 1 Ом соединены в электрическую цепь, по которой течёт ток I = 2 А (см. рисунок). Какое напряжение показывает идеальный вольтметр?

Ответ: ____ В.

Источники:
1. ЕГЭ. Физика. Отличный результат / под ред. М. Ю. Демидовой. — Москва: Издательство «Национальное образование», 2022. — 736 с. — (ЕГЭ. ФИПИ — школе).
2. ЕГЭ. Физика. Отличный результат / под ред. М. Ю. Демидовой. — Москва: Издательство «Национальное образование», 2024. — 496 с. — (ЕГЭ. Отличный результат. Учебная книга).

[Александр Сакович]

Решение. Обозначим точки подключения вольтметра буквами А и В (см. рисунок).

Тогда напряжение на вольтметре
\[U=\left| \varphi_A-\varphi_B \right|.\ \ \ (1)\]
По условию
\[R_1=R_2=R_3=R_4=R_5=r=1\ \text{Ом}.\]
Найдем напряжение на резисторах R₁ и R₂. Считаем вольтметр идеальным, т.е. с очень большим сопротивлением, поэтому на соединении резисторов он не влияет.
Напряжение на резисторе R₁
\[U_1=I_1 \cdot R_1= I_1 \cdot r,\ \ I_1=I,\ \ U_1=2\ \text{B}.\]
Резисторы R₂ и R₃ соединены между собой последовательно, поэтому
\[R_{2/3}=R_2+R_3=2r,\ \ R_{2/3}=2\ \text{Ом}.\]
Резисторы R₄ и R₅ соединены между собой последовательно, поэтому
\[R_{4/5}=R_4+R_5=2r,\ \ R_{4/5}=2\ \text{Ом}.\]
Участки R_2/3 и R_4/5 соединены параллельно и R_2/3 = R_4/5. Следовательно, ток
\[I_{2/3}=I_2=\frac{I}{2},\ \ I_2=1\ \text{А}.\]
Тогда напряжение на резисторе R₂
\[U_2=I_2 \cdot R_2=I_2 \cdot r,\ \ U_2=1\ \text{B}.\]
По условию ток идет слева на право и потенциал в точке А больше потенциалов в точке C и B. Пусть потенциал точки B равен 0 В. Тогда
\[\varphi _B=0,\ \ U_1=\varphi _A-\varphi _C,\ \ U_2=\varphi _C-\varphi _B=\varphi _C\]
или
\[\varphi _C=U_2,\ \ \varphi _A=U_1+\varphi _C=U_1+U_2.\]
Подставим полученные значения в уравнение (1)
\[U=\left| \left( U_2+U_1 \right)-0 \right|=U_2+U_1,\ \ U=3\ \text{B}.\]
Ответ: 3 В.